1.4 Модель Пейрара Бішопа– Доксуа

Модель ДНК Пейарда – Бішопа – Доксуа - модель функціонування молекули ДНК. Вона враховує, що молекула ДНК складається з двох полінуклеотидних кіл,та являє собою два кола дисків, пов'язаних один з одним поздовжніми та поперечними пружинами (рисунок 1.1)

Рисунок 1.1 Модель ДНК Пейрара Бішопа – Доксуа

Взаємодія між вузлами різних ланцюжків моделює потенціал Морзе -

потенціал, імітуючий водневі зв'язки, що з'єднують підстави комплементарних пар.

де u_{n ,} v_{n -} зсув нуклеотидів маси m з положення рівноваги в напрямках, показаних стрілочкою, D енергія дисоціації полінуклеотидних ланцюжків, а параметр, зворотний довжині (хвильове число) [3].

Взаємодія між сусідніми вузлами одного ланцюжка описується ангармонійним потенціалом

для верхнього та

для нижнього кіл відповідно,

де константа взаємодії між парами підстав уздовж кола, параметр ангармонізму, параметр, що враховує зменшення стекінг-взаємодії.

Гамільтоніан моделі Пейрара – Бішопа має вигляд [3]:

+

(1.9)

Пiсля введення замін , , гамільтоніан матиме вигляд :

(1.10)

Перейдемо у (1.10) до безрозмірних часу, зсуву та енергії за допомогою замін а потім повернемося до попередніх позначень

Пiсля введення безрозмiрних величин гамільтоніан матиме вигляд :

(1.11)

де безрозмірні параметри.

Рівняння руху, що відповідають гамільтоніану (1.11) мають наступний вигляд[4]:

(1.12)

1.5 Довгохвильове наближення

У випадку довгохвильового наближення (наднизькi частоти) вiдносна зміна відстані мiж i- ю та i+1 – ю частинками визначається співвідношенням:

тобто,

(1.13)

Також маємо

тобто

(1.14)

Переходимо у моделi (1.12) до довгохвильового лiмiту при малому

(y_i~ y(x); ~ y(x), z_i~ z(x); ~ z(x)), враховуючи співвідношення (1.13) та (1.14)

(1.15)

де безрозмірні параметри.

Для випадку довгохвильового наближення розглянемо рухомі хвилi у вигляді: , маємо

,

,

Замiсть системи рiвнянь у часткових похідних (1.15) отримаємо систему звичайних диференційних рівнянь:

(1.16)

Вважаючи величини не надто великими, розкладаємо експоненту в ряд Тейлора:

У системі рівнянь (1.16) отримаємо:

(1.17)

Зберігаючи у системі рiвнянь (1.17) нелінійні члени не вище третього ступеню по 𝛷_1, та 𝛷_2, маємо:

(1.18)

Дана система рівнянь буде досліджена як аналітичним, так і чисельним методами. Оскільки положення рівноваги лише одне, , відокремлених хвиль в даному наближенні немає.

Для аналізу отриманої системи рівнянь (1.18) використовуємо метод малого параметру. Вводячи нову незалежну змінну τ, шукаємо рішення, що є періодичним по з періодом 2π.

Скористаємося перетворенням:

(1.19)

де деяка постійна величина, яка визначається лише значеннями параметру , малий параметр, у даному випадку це безрозмірна величина, яка характеризує міру нелінійності системи.

Тоді, переходячи від аргументу до нової незалежної змінної та використовуючи правило диференціювання складної функції, отримуємо:

внаслідок чого, система рівнянь (1.18) перепишеться у вигляді: