§3. Ускорение движения жидкости и газа

Составляющие ускорений движения жидкости при ее течении, так же как и скорости, являются функциями координат и времени.

Составляющие ускорений представляют собой первые производные составляющих скорости по времени:

По определению , поэтому

(11)

Для установившегося течения жидкости или газа, когда ускорения перестают зависеть от времени,

.

В этом случае проекции ускорений вдоль осей координат в точке потока, определяемой координатами будут:

(12)

Первые слагаемые правой части (11) называются локальными составляющими, а остальные – конвективными составляющими ускорения.

§4. Движение элементарной частицы жидкости

Все виды движения жидкости и газа можно разделить на два класса:

вихревые движения, когда элементарно малые частицы имеют компоненты вихря, т.е. при течении жидкости они вращаются;

безвихревые движения жидкости и газов, когда компоненты вихря отсутствуют и частицы не вращаются.

При безвихревом течении жидкости распределение скоростей потока должно удовлетворять условиям:

(13)

компоненты вихря.

Составляющие скорости течения являются непрерывными функциями координат. Написанные равенства – условие существования функции, у которой частные производные по координатам равны соответствующим составляющим скорости течения:

. (14)

Такая функция называется потенциалом скорости, а соответствующее течение жидкости – потенциальным. Рассматриваемая функция описывает поток несжимаемой жидкости в том случае, если распределение скоростей течения удовлетворяет условиям сплошности , а потенциал скорости – уравнению Лапласа:

или . (15)

§5. Дифференциальные уравнения движения невязкой жидкости (уравнения Эйлера)

Изолируем в потоке элементарно малую частицу, имеющую форму прямоугольного параллелепипеда со сторонами . На выделенную частицу действуют силы гидродинамического давления, массовые силы и силы инерции.

Силы гидродинамического давления, так же как для частицы, находящейся в равновесии, действуют на изолированной поверхности; массовые силы пропорциональны массе частицы; силы инерции определяются произведением массы на мгновенное значение ускорения ее движения. В проекциях на оси координат сумма этих сил, действующих на рассматриваемую частицу, составляет:

;

; (16)

,

где проекции мгновенного значения ускорения частицы на оси координат, определяемые по формулам (11). Объем элементарной частицы является множителем в левой и правой частях равенств. Следовательно, полученные равенства не зависят от выбранной формы элементарной частицы. Разделив обе части равенств на плотность жидкости или газа получим систему уравнений, называемых уравнениями Эйлера:

(17)

или , (18)

где .

Полученные равенства действительны для течения невязких жидкостей и газа. При этом течение может быть как установившимся, так и неустановившимся, потенциальным или вихревым; плотность среды может быть как постоянной, так и зависящей от давления. При течении жидкости должно удовлетворяться условие сплошности: , или .

Интегрирование уравнений Эйлера возможно для ряда частных случаев течения жидкости и газа. Для удобства интегрирования представим уравнения Эйлера в другой форме. Прибавим и вычтем из левой части первого равенства сумму ; второго и третьего – суммы и . Квадрат скорости течения жидкости или газа в данной точке и в данный момент времени , .

Компоненты вихря определяются равенствами:

, , .

Тогда система уравнений Эйлера может быть представлена равенствами:

(19) или

,

которые называются уравнениями Громеки – Ламба.

Ускорения массовых сил, как известно, являются частными производными потенциала :

.

Плотность движущейся среды в общем случае является функцией давления. Введем такую непрерывную функцию координат , чтобы

; ; .

Теперь уравнении Громеки – Ламба могут быть записаны в таком виде:

(20)

или

.