Давление жидкости на криволинейные поверхности. Закон Архимеда.

На твердое тело, погруженное в покоящуюся жидкость, действует сила гидростатического давления, равная весу жидкости в объеме тела, направленная вертикально вверх и проходящая через центр тяжести тела. (рис. 15).

.

Силу часто называют выталкивающей или архимедовой силой.

Равновесие газа в поле силы тяжести.

Дифференциальные уравнения равновесия (20) и (22)

и

,

как указывалось раньше, имеют общий характер и могут быть использованы при расчете сжимаемой жидкости и газа. В отличие от несжимаемой (капельной) жидкости плотность газа есть величина переменная, зависящая от состояния газа.

Рассмотрим сначала уравнение поверхности уровня для газа в поле силы тяжести. Это уравнение, так как примет вид:

(37)

Следовательно, для газа, находящегося в равновесии, любая горизонтальная плоскость, проведенная внутри занимаемого газом объема, будет поверхностью равного давления (рис. 16).

Изменение давления в газе будет, как это следует из уравнения (20), зависеть не только от координаты точки внутри сжимаемой жидкости, но и от того, как связаны между собой давление, плотность и температура газа. Эта связь устанавливается на основании уравнения газового состояния

(38)

где абсолютная температура газа в рассматриваемой точке.

Рассмотрим равновесие газа для однородной атмосферы и при изотермическом изменении газового состояния.

Однородная атмосфера. В этом случае , распределение давления не отличается от распределения давления в покоящейся капельной жидкости. Действительно, при ,

,

.

Определив постоянную интегрирования из граничных условий, например (см. рис. 16) на поверхности земли и , получим уравнение (28):

,

где расстояние от плоскости сравнения до рассматриваемой точки (высота точки М); расстояние от плоскости сравнения до поверхности с заданным давлением . Полученное уравнение показывает, что с увеличением высоты до рассматриваемой точки давление уменьшается, так как в выбранной системе координат .

Изотермическое изменение состояния газа. В случае изотермического состояния газа его плотность меняется в соответствии с уравнением Клапейрона:

(39)

где универсальная газовая постоянная.

После подстановки уравнения газового состояния в дифференциальное уравнение равновесия последнее приобретает следующий вид:

или после разделения переменных

(40)

Интегрируя выражение (40), получим:

С учетом граничных условий на поверхности земли запишем:

(41)

Заменяя в формуле (41) на и решая ее относительно находим:

(42)

Уравнение (42) показывает, что при изотермическом состоянии давление в покоящемся газе меняется по экспоненциальному закону, уменьшаясь с увеличением высоты рассматриваемой точки.