1. Поверхности уровня не пересекаются между собой.

2. Внешние массовые силы направлены по внутренней нормали к поверхности уровня. § Равновесие жидкости в поле силы тяжести

Поверхность уровня. В рассматриваемом случае массовой силой является сила тяжести, ускорением – ускорение свободного падения , поэтому в выбранной системе координат проекции единичной массовой силы на оси будут: , а уравнение поверхности уровня запишется в следующей форме:

(23)

или, так как

. (24)

Таким образом, поверхностью уровня (поверхностью равного давления) в однородной покоящейся жидкости будет горизонтальная плоскость, в том числе и свободная поверхность, независимо от формы сосуда или водоема. Горизонтальной плоскостью будет также граница раздела двух несмешивающихся жидкостей.

Распределение давления в покоящейся жидкости. Воспользуемся основным дифференциальным уравнением равновесия жидкости (20) и после подстановки в него получим:

. (25)

После интегрирования и деления на получим:

(26)

Уравнение (26) называется основным уравнением гидростатики; оно выражает закон распределения гидростатического давления в покоящейся жидкости.

Для определения постоянной интегрирования рассмотрим равновесие жидкости в сосуде произвольной формы со свободной поверхностью (рис. ). Давление в каждой точке на свободной поверхности , расстояние от произвольной плоскости сравнения (в нашем случае – плоскость ) до свободной поверхности равно .

Тогда , и основное уравнение приобретает следующий вид:

. (27)

или

(28)

Графически уравнение (27) можно представить в виде отрезка между плоскостью сравнения и плоскостью . Нетрудно заметить, что разность отметок представляет собой глубину погружения точки , поэтому

. (29)

Это – другая форма основного уравнения гидростатики, удобная для практических расчетов.

В гидравлике величина называется полным или абсолютным гидростатическим давлением. Первое слагаемое уравнения (29) принято называть внешним давлением или давлением на поверхности. Его величина остается постоянной для любой точки внутри покоящейся жидкости. Действительно, вычислим полное давление в двух произвольных точках и :

и .

Нетрудно заметить, что разность этих давлений не зависит от внешнего давления, а зависит лишь от разности отметок выбранных точек:

. (30)

Другими словами, давление на граничной поверхности (в частном случае – на свободной поверхности) передается во все точки покоящейся жидкости по всем направлениям без изменения. В этом определении заключается закон Паскаля.

Как видно из уравнения (29), величина второго слагаемого зависит при постоянной плотности жидкости только от глубины погружения рассматриваемой точки. Эта величина называется в гидравлике избыточным давлением. Таким образом, уравнение (29) можно представить в виде:

. (31)

Из уравнения (29) следует, что распределение гидростатического давления по вертикали линейно зависит от глубины погружения рассматриваемой точки и может быть графически представлено в виде трапеции для полного давления (рис. ) или прямоугольного треугольника для избыточного давления (рис. ). Отметим, что котангенс угла наклона линии давления прямо пропорционален плотности жидкости.

Рассмотрим равновесие жидкости в открытом сосуде, изображенном на рис.6. Предположим, что вдоль поверхности уровня внешнее давление равно атмосферному, вдоль - нулю. Тогда изменение полного давления по вертикали графически будет изображаться треугольником ; в вершине этого треугольника полное давление равно нулю, на глубине оно будет или, учитывая, что вдоль линии давление атмосферное, (где полная глубина жидкости в сосуде). Проведем вертикаль через точку до пересечения с линиями и . Треугольник делится на две части, одна из которых (трапеция ) определяет полное давление ниже линии , другая ( ) – выше линии .

Выберем внутри рассматриваемой жидкости две точки и так, чтобы одна из них находилась ниже, а другая выше поверхности уровня .

Определим давление в этих точках с помощью графика распределения давления. Полное давление в точке определится отрезком , причем внешнему давлению будет соответствовать отрезок , избыточному – отрезок . Давление в точке можно представить в виде разности отрезков и . Заметим, что в обоих случаях атмосферное давление соответствует отрезкам или . В результате имеем:

где и расстояния соответственно от точек и до поверхности уровня .

Таким образом, в общем виде можно записать

(32)

где расстояние от рассматриваемой точки до свободной поверхности.

Из уравнения (32) следует, что в графической интерпретации избыточное давление может быть как положительным, так и отрицательным, в то время как полное и внешнее величины сугубо положительные.

В общем случае полное давление может быть больше или меньше атмосферного; если , разность между атмосферным давлением и полным называется вакуумом:

, (33)

а величина вакуумметрической высотой. Применительно к рис.6 вакууметрическая высота – любой отрезок между линиями и , например для точки .

В технике часто используется понятие манометрическое давление; это давление определяется разностью между полным и атмосферным давлениями:

. (34)

3.Геометрическая и энергетическая интерпретация основного уравнения равновесия жидкости. Слагаемые основного уравнения (26) имеют линейную размерность. Поэтому основное уравнение для произвольной точки, например , легко представить (рис.8) в виде суммы двух отрезков, равных соответственно и . Величина в технической механике жидкости называется высотой положения, она отсчитывается от произвольной плоскости сравнения и поэтому в общем случае величина произвольная, например . Величина определяется давлением в рассматриваемой точке (М) и может быть измерена высотой подъема жидкости в присоединенной к сосуду трубке, из которой полностью удален воздух. Если трубка открытым концом соединена с атмосферой (такая трубка называется пьезометром), то высота подъема жидкости будет определяться манометрическим или избыточным давлением.

Высота называется пьезометрической высотой; высота - приведенной высотой. Сумму высот называют гидростатическим напором; сумму - пьезометрическим напором.

Из уравнения (26) следует, что гидростатический напор для всех точек покоящейся жидкости есть величина постоянная:

(35)

Горизонтальная плоскость с ординатой называется плоскостью гидростатического напора ; горизонтальная плоскость с ординатой плоскостью пьезометрического напора . В том случае, когда давление на свободной поверхности больше атмосферного (рис. 8а), плоскость пьезометрического напора располагается выше свободной поверхности на величину , при (рис.8б) – ниже свободной поверхности на величину .

4. Давление жидкости на плоскую горизонтальную поверхность. Действие сил гидростатического давления, распределенного по поверхности, которая это давление воспринимает, может быть заменено действием одной сосредоточенной силы – их равнодействующей.

Рассмотрим сначала простейший случай – давление жидкости на плоское дно цилиндрического сосуда (рис. 12а). Выделим в пределах площади дна элементарную площадку ; очевидно, что давление в каждой ее точке будет постоянным. Сила давления на эту площадку равна:

(где полное гидростатическое давление в любой точке площади дна).

Равнодействующая сила давления определится интегралом от элементарной силы, взятым по всей площади дна:

(36)

так как входящие под знак интеграла и величины постоянные. Уравнение (36) показывает, что независимо от формы сосуда, заполненного жидкостью, и формы его дна сила гидростатического давления будет одинаковой при условии: и (рис. 12б). В случае равномерно распределенной нагрузки на дно сосуда точка приложения равнодействующей и центр тяжести площадки совпадают.