3.11.2014 - Выходной
Лекция 10.11.2014
Глава 5. Основы мат. Анализа, пределы последовательностей и функций.
Определение предела
последовательности, примеры.
,
,
,
Теорема 1. Если
и
,
то
.
Теорема 2. Если последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху, то она имеет предел.
Предел функции
при
,
при
.
Примеры.
,
Правило Лопиталя
для неопр-сти
.
Пример
.=
=
.
Доказательство
1-го замечательного предела.
Пример.
Лекция 17.11.2014
Пределы функций, 1-й и 2-й зам пределы, следствия.
,
,
Примеры
Бесконечно малые,
несравнимые
не существует. Сравнимые:
Более высокого
и более низкого порядка малости:
Одного порядка
малости
эквивалентные
. Свойства эквивалентных бесконечно малых.
1. Если
,
то
.
2. Если
и
то
.
3. Порядок разности эквивалентных величин больше, чем порядок малости каждой из них.
4. Порядок разности суммы равен наименьшему из порядков этих величин.
Примеры:
- 1-го порядка малости в точке x=0
5. Если
,
и
то
.
Главная часть и
метод её нахождения. Пример. Найти
главную часть для
в точке х = 1 вида
.
Лекция 24.11.2014
Выделить главную
часть бесконечно-малой:
отв:
Непрерывность.
Определения через односторонние пределы.
Классификация: устранимый разрыв, разрыв 1 и 2 рода.
Примеры на каждый
тип.
,
,
Найти точки разрыва и определить их тип
,
,
,
.
Глава 4. Основы дифф.Исчисления.
Дифференцируемость
,
Производная
и взаимосвяь этих понятий.
Геометрический смысл (тангенс угла наклона касательной) и физический (скорость).
Доказать, что
и
.
Таблица производных основных типов функций.
;
Вывести отсюда (при
и
)
формулы
и
.
;
;
; 
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
Основные правила дифференцирования:
Понятие частных производных.
и
Геометрический смысл (тангенс угла наклона касательной к кривой, получающейся в одном из сечений).
Лекция 1.12.2014
Частные производные 1 и 2 порядка, примеры. Градиент, его физ.смысл.
,
совпадение смешанных вторых производных.
Производная по
направлению. Формула взаимосвязи между
ними. (с док-вом)
Уравнение
касательной.
с доказательством.
Примеры. Найти
касательную к графику
в точке
Найти уравнение
касательной к кривой
в точке
.
(36х-42).
Формула Тейлора, ряд Тейлора
Пример
Лекция 8.12.2014
Ряд Тейлора для
Ряд Тейлора, метод его получения с помощью прогрессии.
Примеры.
.
Экстремумы и методы их нахождения.
Теорема 1. Если
то
при
и
при
Теорема 2. (Ферма) (необходимый признак экстремума)
Если функция
дифференцируема и
- точка экстремума, то
.
Теорема 3. (достаточный признак на основе 1-й производной)
Если
при
и
при
то
- точка максимума,
Если при и при то - точка минимума.
Теорема 4. (достаточный признак на основе 2-й производной)
Если
,
то при
- минимум, при
- максимум.
Теорема 5. (достаточный признак на основе n-х производных) (если n нечётно то экстремума нет, есл чётно то аналогично 2-й производной).
Пример.
.
Точки экстремума (1, 4/3) и (3, 0).
Набольшее и
наименьшее значение на отрезке. Пример.
на [0,5].
f(0)=2, f(3/2)= - 1/4, f(5) = 12.
Лекция 15.12.2014
Условный экстремум и примеры на min периметр прямоугольника (a=b) и наименьшую площадь поверхности цилиндра (h=2R).
Выпуклость вверх / вниз графика функции, связь со 2-й производной. Точки перегиба.
Примеры. Найти
интервалы выпуклости и точки перегиба
для
,
.
Асимптоты - вертикальные, горизонтальные, наклонные и их нахождение.
Вывод формул
,
.
Пример. Найти
асимптоты графика функции
(Ответ. Вертикальная x = 2, наклонная y = 2x + 2).
Три вида задания функций - явный, неявный, параметрический. Примеры.
Производная
функции, заданной параметрически. Вывод
формулы
.
Пример.
при
.
Лекция 22.12.2014
Производная функции, заданной неявно.
Основные теоремы дифф. исчисления. (Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши).