134 Группы ртф
ЛЕКЦИИ
1.9.2014 1 сентября - лекций у 1 курса нет
Лекция 8.9.2014
Матрицы и действия над ними.
Свойства действий над матрицами.
Транспонированная матрица.
Треугольная матрица.
Единичная матрица Е и умножение на неё.
Определители 2,3 порядка. Геометрический смысл. Площадь параллелограмма и объём параллелепипеда.
Лекция 15.9.2014
Основные свойства определителей и их геометрический смысл.
*Если строка или столбец состоит из 0 det равен 0
*Если строку умножить константу det умножится на c.
*Если одинаковые или пропорц. строки или столбцы det равен 0.
*Если поменять строки местами det сменит знак
*Если к строке прибавить другую строку, домноженную на число, det не изменится
Ранг матрицы. Наибольший порядок минора, отличного от 0.
Метод элементарных преобразований для нахождения ранга. Пример.
Ранг системы векторов и его соответствие рангу матрицы.
Невырожденная матрица. Обратная матрица.
Алгоритм нахождения. Пример.
1. Проверить невырожденность с помощью определителя.
2. Составить матрицу из дополняющих миноров Mij.
3. Изменить знаки в шахматном порядке, то есть домножить на (-1)i+j, где i,j - номера строки и столбца.
Получатся алгебраические дополнения Aij.
4. Транспонировать полученную матрицу.
5. Поделить на определитель исходной матрицы.
Пример:
=
Единственность обратной матрицы (не существует различных обратной слева и справа).
Пусть
и
.
тогда
,
.
Лекция 22.9.2014
Элементы векторной алгебры, скалярное, векторное, смешанное произведение.
Метод нахождения векторного произведения с помощью определителя
Пример. Найти векторное произведение векторов (1,1,1) и (2,4,7) Ответ (3,-5,2).
=
Свойства: сходство и различия.
|
|
Типовая задача бескоординатного типа:
,
,
,
,
угол между ними 45 град. Найти
.
Реш.
=
=
.
Смешанное произведение и объём параллелепипеда.
Вывод формулы
проекции вектора на ось
.
Глава 2. Системы линейных уравнений.
Обычный, матричный и векторный вид.
,
,
Геометрический смысл.
Совместная и несовместная, определённая и неопределённая.
Метод Крамера, матричный метод. На примере системы:
ответ
Лекция 29.9.2014
Метод Гаусса.
Общая идея преобразования к треугольному виду и на примере:
Ответ
=1,
=1,
=
1.
Решение неопределённых систем (свободные переменные). Общее и частное решение.
Пример
Общее решение
.
Однородные системы, ФСР
Тривиальное решение.
Теорема 1. (док) Линейная комбинация решений однородной системы есть решение.
Теорема 2. (док) Однородная система с квадратной основной матрицей имеет нетривиальные решения
тогда и только тогда, когда основная матрица вырожденная.
Теорема 3. Существует n-r линейно-независимых решений однородной системы, и всякое другое решение есть их линейная комбинация.
Примеры (r=2, n=3) (r=2, n=4).
Лекция 6.10.2014