Модуль 5. Кривої другого порядку

§ 1. Окружність

Окружністю називається безліч всіх точок площини, віддалених від заданої точки цій же площині на одне і теж відстань . Точка називаеться центром, а — радіусом окружності. У прямокутній системі координат рівняння кола має вигляд

, (1)

де — координати її центру, — радіус кола.

Зокрема, якщо центр кола збігається з початком координат, тобто , , то рівняння (1) прийме вигляд:

(2)

Приклад 5.1. Знайдіть координати центру і радіус кола .

Розділивши рівняння на 2, і згрупувавши члени рівняння, отримаємо . доповнимо вираження і до повних квадратів, додавши до першого двучленной 4, а до другого (одночасно до правої частини додається сума цих чисел):

.

За формулою (1) имеем , , т.е. — координати центра кола; — радіус кола.

§ 2. Еліпс

Еліпсом називається множина всіх точок площини, сума відстаней від кожної з яких до двох даних точок и цій же площині, званих фокусами еліпса, є величина постійна і більша, ніж відстань між фокусами. Канонічне рівняння еліпса :

, (3)

де — велика піввісь, - Мала піввісь еліпса.

• Якщо , то:

  1. координати фокусів: , , де — половина відстані між фокусами (див. рис); числа , і пов'язані співвідношенням

; (4)

2)відстань між фокусами дорівнює ;

. Форма еліпса характеризується його ексцентриситетом.

Эксцентриситетом еліпса називається відношення фокусної відстані (відстані між фокусами) до великої осі: :

2. ( , т.к. ); (5)

Д иректрисами еліпса називаються прямі и паралельні малої осі еліпса і віддалені від неї на відстані, рівному ;

3. и — рівняння директрис.

• Якщо , то рівняння (3) визначає коло .

Приклад 5.2. Данно рівняння еліпса . Знайдіть довжини його піввісь, координати фокусів, ексцентриситет еліпса.

Запишемо рівняння еліпса у вигляді (3), розділивши обидві його частини на 1176: .

Звідси , .

Використовуючи співвідношення (4), знаходимо і . Отже, и .

За формулою (5) находим .

§ 3. Гіпербола

Гіперболой називається множина всіх точок площини, модуль різниці відстаней від кожної з яких до двох заданих точок и цій же площині, званих фокусами, є величина постійна, менша, ніж відстань між фокусами.

Канонічне рівняння гіперболи:

, (6)

де — дійсна, — уявна піввісь гіперболи. Числа і — відповідно дійсна і уявна осі гіперболи. Для гіперболи (6):к оординати фокусів: , , де — половина відстані між фокусами (см. рис);

1. числа , і звязані відношенням

; (7)

2. відстань між фокусами дорівнює ;

3. точки и називаються вершинами гіперболи , точка — центром гіперболи;

Эксцентриситетом гіперболи називаеться число:

5 ) ( , т.к. ). (8)

. Прямокутник, центр якого збігається з точкою О, а сторони рівні і паралельні осях гіперболи, називається основним прямокутником гіперболи.

Діагоналі основного прямокутника гіперболи лежать на двох прямих, званих асимптотами гіперболи они определяются уравнениями

6) (9)

Д ві прямі і (див. мал), паралельні уявної осі гіперболи і віддалені від неї на відстані, рівному , називаються директрисами гіперболи; вони визначаються рівняннями 7) . (10)

Р івняння або (11)

також є рівнянням гіперболи, але дійсною віссю цієї гіперболи служить відрізок осі довжини .

Гіпербола, що задається рівнянням (11), називається сполученої гіперболи (6)

Пример 5.3. Складіть рівняння гіперболи, якщо її фокуси лежать на осі і відстань між ними дорівнює 10, а довжина уявної осі дорівнює 8.

За умовою, ; . Тоді за формулою (7) отримаємо: .

Тоді рівняння гіперболи:

.

Рівняння: , також задають гіперболу, координати центру якій задаються точкою .