3. Затухающие колебания.

Затуханием колебаний называется постепенное ослабление колебаний с течением времени, обусловленное потерей энергии колебательной системой.

Система называется линейной, если ее параметры не меняются в ходе колебательного процесса. Линейные системы описываются линейными дифференциальными уравнениями.

а) Дифференциальное уравнение свободных

затухающих колебаний линейной системы

(12.21)

где: x – колеблющаяся величина;

δ = const – коэффициент затухания;

ω₀ – циклическая частота свободных незатухающих

колебаний (при δ = 0).

В случае малых затуханий (δ² << ω²) решение этого уравнения:

,

где: – амплитуда затухающих колебаний.

– цикл. частота затухающих колебаний. (12.22)

- время релаксации – промежуток времени , (12.23)

в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в е раз.

• Затухание нарушает периодичность колебаний.

• Затухающие колебания не являются периодическими.

Однако, если затухание мало, можно условно пользоваться понятием

периода затухающих колебаний:

б) Декремент затухания

Если A(t) и A(t+T) – амплитуды двух последовательных колебаний, то их отношение e^δT – называется декрементом затухания:

(12.25)

{A(t+T) / A(t) = e^-δT }

А натуральный логарифм этого отношения называется логарифмическим декрементом затухания:

(12.26)

Здесь N – число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз.

в) Добротность колебательной системы

Добротностью колебательной системы называется безразмерная величина Q, равная отношению энергии колебаний к ее убыли за один период, помноженному на 2π:

(12.27)

Т.к. энергия колебаний W(t) пропорциональна квадрату амплитуды A²(t), то

(12.28)

При малых значениях логарифмического декремента затухания

, поэтому, принимая добротность колеб.системы:

( 1(12.29)2.29)

5. Вынужденные колебания

Чтобы в реальной колебательной системе получить незатухающие колебания, надо компенсировать потери энергии. Такая компенсация должна изменяться по гармоническому закону:

В случае механических колебаний вынуждающая сила F = F₀ cos ωt.

Закон движения для пружинного маятника будет иметь вид:

(12.30)

где: kx – упругая сила; – тормозящая сила;

F₀ cos ωt – вынуждающая сила.

Общий вид дифференциального уравнения вынужденных колебаний:

, (12.31)

где

Решение этого уравнения (12.31): , где

(12.32)

(12.33)

___________________________

Конец 5 лекции