11.4. Параметры механических гармонических колебаний

Пусть материальная точка совершает прямолинейные гармонические колебания вдоль оси Х около положения равновесия, принятого за начало координат. Рассмотрим такие параметры, как смещение; скорость; ускорение; силу, действующую на м.т., а также механическую энергию колеблющейся материальной точки.

а) Смещение , м (11.12)

б) Скорость:

, м/с (11.13)

в) Ускорение: (11.14)

, м/с²

г) Сила, действующая на колеблющуюся материальную точку массой m равна:

Таким образом, сила механических гармонических колебаний:

(11.15)

Эта сила действует на колеблющуюся материальную точку и называется восстанавливающей силой механических гармонических колебаний.

Она пропорциональна смещению материальной точки и направлена в сторону, противоположную смещению (к положению равновесия).

Такая зависимость от смещения характерна для упругих сил и поэтому силы, которые аналогичным образом зависят от смещения, называются

квазиупругими.

МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

е) Кинетическая энергия Т: (11.16)

{ из тригонометрии: }

ж) Потенциальная энергия П: (11.17)

{ из тригонометрии: }

з) Полная энергия: сложив (11.16) и (11.17) получим формулу для полной механической энергии гармонически колеблющейся материальной точки.

(11.18)

Очевидно, что полная энергия остается постоянной. С течением времени происходит только периодический переход кинетической энергии в потенциальную и обратно.

На Рис. 11.4. изображены временные диаграммы параметров гармонического колебательного процесса.

Полная энергия тела (материальной точки) остается постоянной, т.к. при гармонических колебаниях справедлив закон сохранения энергии, поскольку упругая сила консервативна.

Из формул для T и П следует, что кинетическая и потенциальная энергии изменяются по гармоническому закону с двойной частотой - 2ω.

На Рис. 11.4 представлены графики изменения параметров колебательного процесса.

Т.к. , то из формул (11.16 и 11.17) следует, что

. (11.19)

Из графиков видно, скорость точки максимальна при прохождении среднего положения.

Ускорение максимально в крайних положениях и всегда направлено к точке равновесия (где оно равно 0).

Амплитуды:

смещения , м;

скорости , м/с;

ускорения , м/с².

Из графиков (Рис. 11.3) видно, скорость точки максимальна при прохождении среднего положения.

Примерами гармонических колебаний являются пружинный, физический, математический маятники и электрический колебательный контур. Все эти примеры обобщаются колебательной системой, называемой гармоническим осциллятором.

2. Механические маятники

1.Гармонический осциллятор

Гармоническим осциллятором называется колебательная система, описываемая уравнением вида:

, (12.1.)

где ,

s – смещение при гармоническом колебании;

ω – круговая (циклическая) частота;

A – амплитуда колебания (максимальное значение s);

φ – начальная фаза колебания в момент времени t = 0;

(ωt +φ) – фаза колебания в момент времени t.

Примерами гармонического осциллятора являются пружинный, физический, математический маятники и электрический колебательный контур.