5. Закон сохранения импульса

Для вывода закона сохранения импульса рассмотрим некоторые понятия.

Механической системой называется совокупность материальных точек (тел), рассматриваемых как единое целое.

Внутренние силы – силы взаимодействия между материальными точками механической системы.

Внешние силы – силы, с которыми на материальные точки системы действуют внешние тела.

Замкнутой (изолированной) системой называется механическая система тел, на которую не действуют внешние силы.

Если имеется механическая система, состоящая из многих тел, то, согласно третьему закону Ньютона, силы, действующие между этими телами, будут равны и противоположно направлены, т.е. геометрическая сумма внутренних сил равна нулю.

Вывод закона сохранения импульса

Рассмотрим механическую систему, состоящую из n тел, масса и скорости которых, соответственно, равны m₁ , m₂ , …, m_n и .

Пусть: – равнодействующие внутренних сил,

действующих на каждое из этих тел, а

– равнодействующие внешних сил.

Запишем второй закон Ньютона для каждого из n тел механической системы:

. . . . . . . . . . .

Складывая эти уравнения почленно, получим:

, но, так как геометрическая сумма внутренних сил механической системы по третьему закону Ньютона равна нулю , то:

,

но т.к.

, или ,

где - импульс системы.

Таким образом, производная по времени от импульса механической системы равна геометрической сумме внешних сил, действующих на систему. В случае отсутствия внешних сил – а именно так и есть в замкнутой механической системе производная по времени от импульса системы равна нулю. Это означает, что импульс замкнутой механической системы не изменяется, т.е. он постоянен:

или

Последнее выражение и является законом сохранения импульса в замкнутой механической системе.

6. Центр масс системы материальных точек

Ц

- и – масса и радиус-вектор i-той материальной точки;

- n – число материальных точек в системе;

- – масса системы.

ентром масс (центр инерции) системы материальных точек является воображаемая точка С, положение которой характеризует распределение массы этой системы. Ее радиус-вектор определяется:

, где:

Частный случай: Если радиус-векторы проведены из центра масс С (обозначим их ), то , следовательно .

Таким образом, центр масс – это геометрическая точка, для которой сумма произведений масс всех материальных точек, образующих механическую систему, на их радиусы-векторы, проведенные из этой точки, равны нулю.

В случае непрерывного распределения массы в системе, радиус-вектор центра масс:

Закон движения центра масс:

Таким образом, центр инерции механической системы движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы и на которую действует сила, равная главному вектору внешних сил, приложенных к системе.

Если рассматриваемая система – твердое тело, которое движется поступательно, то скорости v_i всех точек тела и его центра инерции v_c одинаковы и равны v скорости тела; соответственно ускорение тела а = а_с , и основное уравнение динамики имеет вид:

Этот закон показывает, что для изменения скорости ц.м. системы необходимо, чтобы на систему подействовала внешняя сила. Внутренние силы взаимодействия частей системы могут вызвать изменение скоростей этих частей (например, разрыв снаряда на несколько осколков), но они не могут повлиять на суммарный импульс системы и скорость ее центра масс.

Из закона движения центра масс следует, что скорость ц.м. замкнутой механической системы не изменяется с течением времени. Т.е. центр масс замкнутой системы либо покоится, либо движется с постоянной скоростью относительно инерциальной системы отсчета.

Строго говоря, замкнутых систем в природе нет, хотя бы уже потому, что на все тела действуют силы тяготения. Однако в практических целях для простоты расчетов некоторые механические системы можно считать замкнутыми, если силы взаимодействия частей такой системы во много раз больше внешних сил.

При небольших допущениях можно считать Солнечную систему замкнутой.