Задача 3 моделювання тривалості обслуговування поїздів у приймально-відправному парку

1. Теоретичні відомості

При виконанні моделювання на ЕОМ окремі значення випадкових величин доцільно отримувати аналітичними методами. Нижче наведено вирази для аналітичного моделювання випадкових величин з різними законами розподілу.

Розподіл Ерланга:

, (3.1)

де – математичне очікування випадкової величини ;

– параметр Ерланга;

– випадкові числа, що рівномірно розподілені в інтервалі ;

– добуток випадкових чисел .

Якщо всі значення випадкової величини X обмежені знизу ( ), то вираз для моделювання має вигляд:

. (3.2)

Показниковий розподіл:

. (3.3)

Нормальний розподіл:

, (3.4)

де – середнє квадратичне відхилення випадкової величини ;

– випадкове число, що розподілене за нормальним законом з параметрами .

Рівномірний розподіл неперервних випадкових величин:

, (3.5)

де – відповідно, нижня та верхня межі випадкової величини X.

Рівномірний розподіл дискретних випадкових величин:

, (3.6)

де – операція здобуття цілої частини числа , тобто округлення числа у меншу сторону до цілого значення;

– відповідно, найменше та найбільше можливе значення випадкової величини N.

Окремий випадок має місце, коли ; тоді формула (3.6) має вигляд:

. (3.7)

Біноміальний розподіл. Біноміальним є закон розподілу дискретної випадкової величини , що визначає кількість випадків появи деякої події в незалежних дослідах, в кожному з яких ймовірність цієї події дорівнює :

(3.8)

Розподіл Пуассона. Закон Пуассона визначає кількість випадків появи деякої випадкової події за одиницю часу, якщо інтенсивність її появи дорівнює ( , де – математичне очікування кількості випадків появи події за одиницю часу). Для моделювання випадкової величини необхідно знайти добуток випадкових чисел , який буде меншим за :

. (3.9)

2. Приклад вирішення задачі

2.1. Умови задачі

В приймально-відправний парк сортувальної станції прибувають вантажні транзитні поїзди та поїзди у розформування. Кількість вагонів у поїзді є випадковою величиною, що рівномірно розподілена в інтервалі . Технічний огляд составів виконує бригада ПТО, що складається з трьох груп. Середня тривалість обробки одного вагона є нормально розподіленою випадковою величиною з математичним очікуванням  хв і середнім квадратичним відхиленням  хв. Після технічного огляду транзитного поїзда виконуються операції по його відправленню тривалістю 8 хв, а після огляду поїзда, що прибув у розформування, виконується розпуск состава поїзда на сортувальній гірці тривалістю 12 хв.

Виконати моделювання тривалості обслуговування 50 поїздів в парку станції. Визначити середню тривалість обслуговування поїзда і ймовірність того, що загальна тривалість операцій з окремим поїздом перевищить її середнє значення. Категорію поїздів приймати згідно з результатами моделювання в задачі №1.

2.2. Рішення задачі

Моделювання кількості вагонів у складі поїздів. Кількість вагонів у поїзді є дискретною випадковою величиною, що розподілена рівномірно у інтервалі  ваг. і, відповідно, моделюється виразу (3.6). Із таблиці рівномірно розподілених випадкових чисел (табл. №1 Додатку до бланку завдання) обирається чергове число , яке використовується для визначення кількості вагонів у першому поїзді:

 ваг.

Моделювання тривалості технічного огляду составів. Тривалість технічного огляду состава поїзда визначається за формулою:

, (3.10)

де – середня тривалість технічного огляду одного вагона в составі, хв;

K – кількість груп в бригаді ПТО (згідно до завдання групам).

Тривалість технічного огляду одного вагона составі є неперервною випадковою величиною з нормальним розподілом і, відповідно, моделюється за виразом (3.4). Із таблиці нормально розподілених випадкових чисел (табл. №2 Додатку до бланку завдання) обирається чергове випадкове число , тоді  хв.

Таким чином,  хв.

Визначення тривалості обслуговування составів у парку. Загальний час обслуговування поїзда визначається як

, (3.11)

де – тривалість додаткової операцій, що в залежності від категорії поїзда є операцією відправлення або розформування, хв.

Згідно з табл. 1.1 перший поїзд прибув у парк сортувальної станції для розформування, тому  хв (див. завдання).

Таким чином:  хв.

Моделювання тривалості обслуговування поїздів у приймально-відправному парку виконано у табл. 3.1.

Аналіз результатів моделювання. На основі результатів моделювання визначимо середню тривалість обслуговування поїздів у парку за формулою:

, (3.12)

де – загальна кількість поїздів за період моделювання ( поїздів).

Таким чином, маємо:  хв.

Визначимо ймовірність того, що тривалість обслуговування поїздів у парку перевищить середнє значення цієї тривалості. З цією метою визначимо справедливсть умови ; при виконанні умови в останній стовпчик табл. 3.1 записується «1», в іншому випадку – «0». Наприклад, оскільки для першого поїзда величина  хв перевищує значення  хв, то в останній стовпчик табл. 3.1 записано «1».

У наведеному прикладі (табл. 3.1) всього зафіксовано 25 випадків виконання умови . За формулою (1.2) визначимо потрібну ймовірність:

.

Таблиця 3.1