Задача 2 моделювання інтервалів між поїздами, що прибувають у приймально-відправний парк

1. Теоретичні відомості

1.1. Випадкові величини. Закони розподілу випадкових величин

Випадковою є така величина, яка в результаті досліду приймає деяке значення, причому до проведення досліду невідомо яке. Випадкові величини поділяють на дискретні і неперервні.

Дискретними є величини, окремі значення яких можна перерахувати (кількість вагонів у составі, кількість пасажирів у поїзді та ін.).

Неперервні випадкові величини – це такі величини, можливі значення яких заповнюють деякий інтервал на числовій осі (інтервал між поїздами, тривалість технічного огляду составу, маса вагона та ін.).

Основною характеристикою випадкової величини є закон її розподілу. Законом розподілу випадкової величини називають будь-яке співвідношення, що встановлює зв'язок між можливими значеннями величини та відповідними їм ймовірностями. Зазвичай закон розподілу випадкової величини представляють за допомогою інтегральної функції розподілу , яка для кожного значення x визначає ймовірність події : , тобто ймовірність того, що випадкова величина у деякому досліді буде меншою за .

Інтегральна функція розподілу випадкової величини є її вичерпною характеристикою, але по ній досить складно робити висновки про власне характер розподілу; більш наглядне уявлення про нього дає диференціальна функція розподілу , яку ще називають щільністю розподілу випадкової величини. Закон розподілу випадкової величини можна задавати графічно (рис. 2.1), аналітично (на основі функцій або ), а також за допомогою статистичного ряду розподілу (табл. 2.1).

Р

1

ис. 2.1. Графічне представлення закону розподілу випадкової величини:

а) інтегральною функцією розподілу; б) диференціальною функцією розподілу

Таблиця 2.1

Приклад статистичного ряду розподілу випадкової величини

	0…20	20…40	40…60	60…80	80…100
	0,1	0,2	0,3	0,25	0,15

Функції розподілу для неперервних випадкових величин можуть бути задані аналітичними виразами. Нижче наведено основні функції розподілу неперервних випадкових величин, які використовуються для моделювання транспортних процесів.

Розподіл Ерланга:

, (2.1)

де – параметр Ерланга ;

– інтенсивність вхідного потоку заявок.

При (показниковий розподіл) функція (2.1) має вигляд

, (2.2)

а при

. (2.3)

Рівномірний розподіл:

(2.4)

де – відповідно, нижня та верхня границі випадкової величини.

1.2. Числові характеристики випадкових величин

Основними числовими характеристиками випадкової величини є математичне очікування, дисперсія та середнє квадратичне відхилення.

Математичним очікуванням випадкової величини називають суму добутків усіх її можливих значень на відповідні їм ймовірності . Статистичною оцінкою математичного очікування є середнє значення випадкової величини. Математичне очікування дискретної випадкової величини:

. (2.5)

Математичне очікування неперервної випадкової величини:

. (2.6)

Дисперсія випадкової величини та середнє квадратичне відхилення характеризують міру розсіювання окремих значень випадкової величини навколо її математичного очікування.

Дисперсія визначається за формулами:

– для дискретних випадкових величин:

; (2.7)

– для неперервних випадкових величин:

. (2.8)

Середнє квадратичне відхилення визначається за формулою:

. (2.9)