27. Математическое (аналитическое) моделирование

Математическое моделирование – это процесс, включающий три важнейших этапа:

• этап построения модели;

• этап проверки модели;

• этап исследования системы (объекта, процесса) на модели.

Этап построения модели, как правило, реализуется посредством применения общих законов естествознания и конкретных наук. Остальные этапы зависят от того, какая разновидность математического моделирования используется – аналитическое или имитационное моделирование.

Аналитическое моделирование

Исторически первым сложился аналитический подход к исследованию систем. При использовании аналитического подхода ряд свойств одномерной или многомерной, односвязной или многосвязной системы (или какой-либо ее части) отображается в одномерном или n-мерном пространстве одной единственной точкой, совершающей какое-либо движение. Это отображение осуществляется либо с помощью функции f(S), либо посредством оператора (функционала) F(S).

Например, в простейшем случае процесс, протекающий в системе, описывается квадратичной функцией (рис.8.1).

Модель системы

y = x²

X Y

Рис. 8.1. Обобщенный вид аналитической модели системы

Для любой аналитической модели характерна сложность ее получения. Вместе с тем, после получения она позволяет вычислять полный набор искомых значений выходной величины при полном наборе изменений входной величины.

Так, для системы, изображенной на рис.1 при изменении Х от 0 до к примеру 10 с шагом единица достаточно просто и однозначно получаются значения выходной величины, соответственно 0, 1, 4, 9, ..., 100.

При использовании данного подхода можно также две или более систем отобразить точками и рассматривать взаимодействие этих точек, каждая из которых совершает какое-либо движение, имеет свое поведение. Поведение точек и их взаимодействие описываются аналитическими законами или закономерностями.

Основу понятийного (терминологического) аппарата составляют понятия классической математики и некоторых новых ее разделов (величина, функция, уравнение, система уравнений и т.п.).

На базе аналитических представлений возникли и развиваются математические теории различной сложности – от аппарата классического математического анализа (метода исследования экстремумов функций, вариационного исчисления и т.п.) до таких разделов современной математики, как математическое программирование (линейное, нелинейное, динамическое и т.д.), теория игр (матричные игры, дифференциальные игры и т.д.) и т.д.

Аналитические методы применяются в тех случаях, когда свойства системы можно отобразить с помощью детерминированных величин или зависимостей, т.е., когда знания о процессах и событиях в некотором интервале времени позволяют полностью определить поведение их вне этого интервала. Аналитическое моделирование широко используется при решении задач движения и устойчивости, оптимального размещения, распределения работ и ресурсов, выбора наилучшего (наикратчайшего) пути, оптимальной стратегии поведения в конфликтных ситуациях и т.п.

Математические теории, развивающиеся на базе аналитических представлений, явились основой ряда прикладных теорий: теории автоматического управления, теории принятия решений (в том числе и оптимальных) и т.д. При практическом применении аналитических представлений для отображения сложных систем следует иметь в виду, что они требуют установки всех детерминированных взаимосвязей между учитываемыми компонентами и целями системы в виде аналитических зависимостей. Для сложных многокомпонентных, многокритериальных систем получить такие зависимости чрезвычайно сложно. Более того, если даже это и удается при введении значительных ограничений и допущений, то практически невозможно доказать правомерность применения этих аналитических выражений, т.е. адекватность модели исследуемой системе.

Примером аналитической модели является модель вычисления суммы налоговых поступлений в бюджет за моделируемый период, описываемая математической зависимостью:

BD_t = , (9)

где BD_t – сумма поступивших в бюджет средств от начала моделирования к концу года t, руб;

t – время, год;

t_f – финальный год моделирования;

t_b – начальный год моделирования;

PRF_t – доналоговая прибыль, полученная предприятием за год t, руб/год;

TXRT – ставка налога на прибыль.

Моделирование такого процесса не представляет сложностей и может быть реализовано в табличном процессе Excel.

Рассмотренная задача является детерминированной, т.к. все данные, входящие в формулу (9) есть известный результат прошедшего этапа. Значительно сложнее выглядят задачи оценки будущих экономических процессов (задачи планирования, прогнозирования), протекающих в условиях рыночной конкуренции, а, следовательно, описываемых случайными функциями.