12. Логические элементы пэвм. Основные законы и тождества алгебры логики.

Для анализа и синтеза схем в ЭВМ при алгоритмизации и программировании решения задач широко используется математический аппарат алгебры логики. Алгебра логики - это раздел математической логики, значение всех элементов (функций и аргументов) которой определены в двухэлементном множестве: 0 и 1. Алгебра логики оперирует с логическими высказываниями.  В алгебре логики все высказывания обозначают буквами а, Ь, с и т.д. Содержание высказываний учитывается только при введении их буквенных обозначений, и в дальнейшем с ними можно производить любые действия, предусмотренные данной алгеброй. Причем если над исходными элементами алгебры выполнены некоторые разрешенные в алгебре логики операции, то результаты операций также будут элементами этой алгебры. Простейшими операциями в алгебре логики являются операции логического сложения (иначе, операция ИЛИ, операция дизъюнкции) к логического умножения (иначе, операция И операция конъюнкции). Для обозначения операции логического сложения используют символы + или V , а логического умножения -- символы * *Л. Правила выполнения операций в алгебре логики определяются рядом аксиом, теорем следствий.

Математический аппарат алгебры логики позволяет преобразовать логическое выражение, заменив его равносильным с целью упрощения, сокращения числа элементов или замены элементной базы.

Законы:

1 Переместительный: X ∨ Y = Y ∨ X; X · Y = Y · X.

2 Cочетательный: X ∨ Y ∨ Z = (X ∨ Y) ∨ Z = X ∨(Y ∨ Z);  X · Y · Z = (X · Y) · Z = X· (Y· Z).

3 Идемпотентности: X ∨ X = X; X · X = X.

4 Распределительный: (X ∨ Y)· Z = X· Z ∨ Y· Z.

5 Двойное отрицание:  .

6 Закон двойственности (Правило де Моргана):

Для преобразования структурных формул применяется ряд тождеств:

X ∨ X · Y = X; X(X ∨ Y) = X — Правила поглощения.

X· Y ∨ X·   = X, (X ∨ Y)·(X ∨  ) = X – Правила склеивания.

Правила старшинства логических операций.

1 Отрицание — логическое действие первой ступени.

2 Конъюнкция — логическое действие второй ступени.

3 Дизъюнкция — логическое действие третьей ступени.

Если в логическом выражении встречаются действия различных ступеней, то сначала выполняются первой ступени, затем второй и только после этого третьей ступени. Всякое отклонение от этого порядка должно быть обозначено скобками. 

13. Истоки вычислительной техники

Пожалуй, первой реально созданной машиной для выполнения арифметиче­ских действий в десятичной системе счисления можно считать счетную ма­шину Паскаля. В 1642 г. Блез Паскаль продемонстрировал ее работу. Машина выполняла суммирование чисел (восьмиразрядных) с помощью колес, кото­рые при добавлении единицы поворачивались на 36⁰ и приводили в движение следующее по старшинству колесо всякий раз, когда цифра 9 должна была перейти в значение 10. Машина Паскаля получила известность во многих странах, было изготовлено более 50 экземпляров машины.

В средние века (расцвет механики) было предложено и выполнено много раз­личных вариантов арифметических машин. Их авторами были: Морлэнд (1625-1695), К. Перро(1613-1688), Якобсон, Чебышев и др. Первую машину, с помощью которой можно было не только складывать, но умножать и делить, разработал Г. Лейбниц (1646-1716). Однако большинство подобных машин изготавли­вались авторами в единичных экземплярах. Удачное решение инженера В. Однера, разработавшего колесо с переменным числом зубьев, позволило почти век серийно выпускать арифмометры (например, "Феликс" Курского завода "Счетмаш"), являвшиеся основным средством вычислений вплоть до эпохи ПЭВМ и калькуляторов.

Все упомянутые механизмы обладали одной особенностью - могли автоматически выполнять только отдельные действия над числами, но не могли хранить промежуточные результаты и, следовательно, выполнять последовательность действий.

Первой вычислительной машиной, реализующей автоматическое выполнение последовательности действий, можно считать разностную машину Чарльза Беб­беджа. В 1819 г. он изготовил ее для расчета астрономических и морских таблиц. Машина обеспечивала хранение необходимых промежу­точных значений и выполнение последовательности сложений для получения значения функции. В дальнейшем Беббедж предложил так называемую аналитическую машину, предназначенную для решения любых вычислительных задач. В аналитической машине Беббеджа можно найти прообразы всех основных устройств современной ЭВМ: арифметическое устройство («мель­ница»), память («склад»), устройство управления (на перфокартах), позволяющее выбирать различные пути решения в зависимости от значений ис­ходных данных и промежуточных результатов. Однако проект аналитической маши­ны Беббеджа так и не был реализован - из-за несоответствия идеи и элементной базы.

Идеи аналитической машины Беббеджа были использованы в релейных ма­шинах, выпускавшихся в 30-40-х годах ХХ века. Теоретической основой разработки релейно-контактных схем явился аппарат булевой алгебры, который в дальнейшем использовался для синтеза схем электронных ЭВМ. В связи с этим даже выпускаемые большими сериями электрические релейные машины Хол­лерита - табуляторы - не произвели переворота в средствах обработки информации, хотя и широко использовались для обработки стати­стической информации вплоть до 70-х годов прошлого века.

Только освоение электронных схем в качестве элементной базы положило начало действительно массовому внедрению сначала вычислительной, а по­том и информационной техники во все сферы человеческой деятельности.

Первые электронные цифровые вычислительные машины (ЦЭВМ) были раз­работаны и выпущены на рубеже 40-50-х годов прошлого века в США, Англии и чуть позднее - в СССР.

Верной помощницей Бэббиджа во всех его делах стала дочь поэта Джорджа Гордона Байрона (1788-1824) Августа Ада. Математикой Августа Ада увлекалась с детских лет. В 1835 году она вышла замуж и стала графиней Лавлейс. Ее муж с одобрением относился к научным занятиям жены и всячески помогал ей.

В тесном сотрудничестве с Бэббиджем леди Лавлейс разрабатывала программы для решения различных математических задач на вычислительных машинах, и именно ею в 1843 году была составлена первая успешно рабо­тавшая программа для вычисления известных в математике «чисел Бернулли» (Бэббидж тоже составлял программу для вычисления этих чисел, но его про­грамма «не пошла». У более аккуратной леди Лавлейс программа заработа­ла). Таким образом, Аду Лавлейс можно считать «первой программисткой», а начальной датой «искусства программирования» - 1843 год.

Представляют интерес и ее теоретические работы, хотя опубликована была лишь одна ее большая статья, в которой леди Лавлейс представила наиболее четкое и законченное изложение принципов действия и возможностей авто­матических вычислительных машин, которые она называла (по терминоло­гии того времени) «аналитическими машинами».

Чарльз Бэббидж скончался в 1871 году, до самых последних лет занимаясь различными отраслями науки. Самое большое дело его жизни - создание универсальной вычислительной машины - не было завершено. Теперь мы понимаем, что она не была завер­шена потому, что на чисто механических элементах - шестеренках, осях и рычагах - построить универсальную вычислительную машину слишком трудно.