Algoritmy

• Od perského matematika a astronoma Chórezmího- autor díla, které seznámilo Evropu s indickou poziční soustavou výpočtu a číslem 0.

• Algoritmus v obecném pojetí označuje návod pro postup k nějaké činnosti

Algoritmy V matematice

• Pojem algoritmus je v matematice chápán intuitivně a není pro něj definice

• Z matematického hlediska je to návod, který má tyto vlastnosti:

  • Je složen z konečného počtu přesně definovaných instrukcí, zapsaných konečným počtem symbolů

  • Řeší většinou problémy v závislosti na vstupních podmínkách (datech)

  • Může být prováděn i člověkem

  • Není třeba lidské inteligence, pouze k pochopení instrukcí

• Alan Turing- definoval matematický model algoritmu- „Turingův stoj“-> pro každý algoritmus, chápaný intuitivně, existuje ekvivalentní Turingův stroj a obráceně

• Dnešní Teorie algoritmů-> Teorie algoritmů a Teorie vyčíslitelnosti

  • 3 základní otázky: Co všechno lze pomocí algoritmu vyřešit; jak složitý musí být algoritmus pro vyřešení daného problému; je algoritmus závislý na způsobu zápisu

Kategorie problémů

1. Algoritmicky rozhodnutelné- spočetné, rekurzivní

• Výsledek bez ohledu na počáteční podmínky (vstup)

• Praktické problémy

2. Algoritmy částečně rozhodnutelné- rekurzivně spočetné, vyčíslitelné

• Algoritmus existuje, ale skončí a vydá výsledek jen někdy-> nemáme jistotu, zda skončí

• Schopnost rozhodnout, zda jiný algoritmus za daných podmínek skončí nebo ne (halting problem)

3. Algoritmicky nerozhodnutelné- nerekurzivní, nespočetné

• Nejsou algoritmicky rozhodnutelné

• Např. problém rozhodnout, zda dva algoritmy dělají totéž

• Problémy z oblasti společenských věd- ekonomie, psychologie, sociologie...

Složitost algoritmů

• Závisí na množství času a prostředků (např. paměti) které algoritmus ke svému provedení potřebuje

1. Polynomiální složitosti- množství času a prostředků lze v závislosti na vstupních podmínkách vyjádřit polynomem

2. Ne-polynomiální složitosti-nelze v záv. na vstupních podmínkách vyjádřit polynomem

Závislost na formě zápisu

• To, co lze zapsat jednou formou, lze ekvivalentně vyjádřit jinou formou=> forma zápisu nemá vliv na vlastnosti algoritmu=> je jedno, jaký programovací jazyk pro zápis zvolíme

Ne-polynomiální úlohy

• Problém batohu- daná množina předmětu předem definované velikosti a batoh-> jak vybrat předměty aby se tam vešly a zároveň měly maximálně možný objem

  • Nepolynomiální problém-> s množství předmětu roste složitost řešení minimálně exponenciálně=> velmi složité

  • Lze u předem připraveného seznamu posoudit, zda se tam vejde nebo ne

  • Lze porovnat dva seznam a zjistit, který je výhodnější

• Problém dělení lupu- jak rozdělit lup napůl, když každý předmět je nedělitelný-> je jednodušší posuzovat navržené řešení, než ho tvořit (postup, který by problém řešil a navrhl řešení, popř. zjistil, že neexistuje není polynomiální)

• Je jednoduší a rychlejší ověřit, zda je navržené řešení opravdu řešením problému, než řešení nalézt-> stejné jako zkoušející x zkoušený

• Nepolynomiální algoritmy se využívají především pro šifrování (certifikát pro elektronickou komunikaci s bankou, tvorba elektrických podpisů)