13. Показательные неравенства. Основные способы решения.
Показательным неравенством называется неравенство, в котором неизвестная содержится только в показателе степени при постоянном основании А, А > 0, A ¹ 1.
При решении показательныx неравенств используются следующие утверждения:
A.1. Если a > 1, неравенство
a f(x) > a g(x)
равносильно неравенству
f(x) > g(x).
Аналогично, a f(x) < a g(x) f(x) < g(x).
A.2. Если 0 < a < 1, неравенство
a f(x) > a g(x)
равносильно неравенству
f(x) < g(x).
Аналогично, a f(x) < a g(x) f(x) > g(x).
A.3. Неравенство
[h(x)] f(x) > [h(x)] g(x)
равносильно совокупности систем неравенств
|
|
h(x) > 1, |
f(x) > g(x), |
||
|
0 < h(x) < 1, |
|
f(x) < g(x). |
Замечание.. Если знак неравенства (1) нестрогий, дополнительно рассматривается и случай
|
h(x) = 1, |
x D(f) D(g), |
где D(f) (D(g)) означает область определения функции f (g).
A.4. Если b ≥ 0, неравенство
af(x) < b
не имеет решений (следует из свойств показательной функции).
A.5. Если b ≤ 0, множеством решений неравенства af(x) > b является x D(f).
A.6. Если a > 1, b > 0, неравенство
af(x) > b
равносильно неравенству
f(x) > logab.
Аналогично, a f(x) < b f(x) < logab.
A.7. Если 0 < a < 1, b > 0, неравенство
a f(x) > b
равносильно неравенству
f(x) < logab.
Аналогично, a f(x) < b f(x) > logab.
14. Логарифм. Свойства логарифмов. Десятичные и натуральные логарифмы.
Логарифмом числа B (B > 0) По основанию а (А > 0, А ¹ 1) называют показатель степени, в которую нужно возвести число А, чтобы получить число B:
(6.1)
Формулу (6.1) называют Основным логарифмическим тождеством.
Логарифм
числа B по
основанию 10 называется Десятичным
логарифмом И
обозначается 
Логарифм
по основанию E (E = 2,71828…)
называется Натуральным
логарифмом и
обозначается 
Свойства логарифмов
Пусть 
Тогда:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
11) 
Тогда
и только тогда, когда 
12) 
тогда
и только тогда, когда 
13) 
тогда
и только тогда, когда 
Обобщенные свойства логарифмов
Пусть 
и 
–
выражения с переменной. Тогда:
3*) 
где 
4*) 
где 
5*) 
где 
6*) 
где 
З а м
е ч а н и е 1. Следует различать произведение
логарифмов 
и
повторный логарифм 
З а м е ч а н и е 2. Степень логарифма может быть записана двумя способами:
или 
Логарифмированием называется операция нахождения логарифма числа или выражения.
15. Основное логарифмическое тождество. Правила действия с логарифмами. Переход к новому основанию.
Показательное уравнение 
не
имеет решений при 
и
имеет единственный корень в случае,
когда 
.
Этот корень называют логарифмом числа 
по
основанию 
и
обозначают 
,
то есть
1
Итак, логарифмом числа по основанию называется показатель степени, в которую нужно возвести основание , чтобы получить число .
Определение
Выражение 
с
учетом того, что 
называется
- основным
логарифмическим тождеством.
Натуральный логарифм — это логарифм по основанию e. Обозначается lnx.
Основное логарифмическое тождество
Логарифм произведения — это сумма логарифмов
Логарифм частного — это разность логарифмов
Свойства степени логарифмируемого числа и основания логарифма
Показатель
степени логарифмируемого числа 
Показатель
степени основания логарифма
,
в частности если m = n, мы получаем
формулу:
,
например:
Переход к новому основанию
,
частности, если c = b, то 
,
и тогда:
