7.Понятие степени. Степень с рациональным показателем.

Выражение aⁿ (степень с целым показателем) будет определено во всех случаях, за исключением случая, когда a = 0 и при этом n меньше либо равно нулю. 

Свойства степеней

Основные свойства степеней с целым показателем:

a^m *aⁿ = a^(m+n);

a^m : aⁿ = a^(m-n) ( при a не равном нулю);

(a^m)ⁿ = a^(m*n);

(a*b)ⁿ = aⁿ *bⁿ;

(a/b)ⁿ = (aⁿ)/(bⁿ) (при b не равном нулю);

a¹ = a;

a⁰ = 1 ( при a не равном нулю);

Эти свойства будут справедливы для любых чисел a, b и любых целых чисел m и n. Стоит отметить также следующее свойство:

Если m>n, то a^m > aⁿ, при a>1 и a^m

Можно обобщить понятие степени числа на случаи, когда в качестве показателя степени выступают рациональные числа. При этом хотелось бы, чтобы выполнялись все выше перечисленные свойства или хотя бы часть из них.

Например, при выполнении свойства (a^m)ⁿ = a^(m*n) выполнялось бы следующее равенство:

(a^(m/n))ⁿ = a^m.

Это равенство означает, что число a^(m/n) должно являться корнем n-ой степени из числа a^m.

Степенью некоторого числа a (большего нуля) с рациональным показателем r = (m/n), где m – некоторое целое число, n – некоторое натурально число большее единицы, называется число n√(a^m). Исходя из определения: a^(m/n) = n√(a^m).

Для всех положительных r будет определена степень числа нуль. По определению 0^r = 0. Отметим также, что при любом целом, любых натуральных m и n, и положительном а верно следующее равенство: a^(m/n) = a^((mk)/(nk)).

Например: 134^(3/4) = 134^(6/8) = 134^(9/12).

Из определения степени с рациональным показателем напрямую следует тот факт, что для любого положительного а и любого рационального r число a^r будет положительным.

Основные свойства степени с рациональным показателем

Для любых рациональных чисел p, q и любых a>0 и b>0 верны следующие равенства:

1. (a^p)*(a^q) = a^(p+q);

2. (a^p):(b^q) = a^(p-q);

3. (a^p)^q = a^(p*q);

4. (a*b)^p = (a^p)*(b^p);

5. (a/b)^p = (a^p)/(b^p).

8. Свойства степени с натуральным и целым показателем.

Степенью с натуральным показателем называется выражение  , где число  называется основанием степени, а число  называется показателем степени.

Пусть  , то  ;

если  то  ;  не определено.

, где  ;  не определено.

Если    (так как  );

, при любом  . Следовательно,  и  (где Z - множество целых чисел) имеем:

.

Свойства степеней.

Для любых целых чисел m и p:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

.

Свойства 1 - 5 справедливы  , не равных 0; свойство 6 -  указанных 

9. Корни натуральной степени и их свойства

Арифметическим корнем n-ой степени из неотрицательного числа  называется неотрицательное число, n-я степень которого равна  :

Степень корня – это натуральное число, большее 1.

,  , 

2. 

3. 

4. 

5.

Частные случаи:

1. Если показатель корня целое нечетное число ( ), то подкоренное выражение может быть отрицательным.

В  случае нечетного показателя уравнение   при любом действительном значении   и целом    ВСЕГДА имеет единственный корень:

,

Для корня нечетной степени справедливо тождество:

,

2. Если показатель корня целое четное число ( ), то подкоренное выражение  не может быть отрицательным.

В  случае четного показателя уравнение   имеет

при   единственный корнь 

и, если     и  

Для корня четной степени справедливо тождество:

Для корня четной степени справедливы равенства: