Котангенс

Котангенсом числа называется отношение косинуса этого числа к синусу этого числа:  . Котангенсом угла в а радиан называется котангенс числа а. Котангенс - функция числа. Ее область определения - множество всех чисел, у которых синус не равен нулю, так как никаких других ограничений в определении котангенса нет. И так как синус равен нулю при   , то   , где 

Область значений котангенса - множество всех действительных чисел.

Период котангенса равен  . Ведь если взять любые два допустимые значения x (не равные   ), отличающиеся друг от друга на  , и провести через них прямую, то эта прямая пройдет через начало координат и пересечет линию котангенсов в некоторой точке t. Вот и получится, что   , то есть, что число   является периодом котангенса.

Знак котангенса: котангенс - отношение косинуса к синусу. Значит, он

1. равен нулю, когда косинус равен нулю, то есть при  .

2. положителен, когда синус и косинус имеют одинаковые знаки. Это бывает только в первой и в третьей четвертях, то есть при  .

3. отрицателен, когда синус и косинус имеют разные знаки. Это бывает только во второй и в четвертой четвертях, то есть при  .

Котангенс - функция нечетная. Во-первых, область определения этой функции симметрична относительно начала отсчета. А во-вторых,   .

В силу нечетности синуса и четности косинуса, числитель полученной дроби равен  , а ее знаменатель равен   , а значит, сама эта дробь равна   .

Вот и получилось, что   . Котангенс убывает на каждом участке своей области определения, то есть на всех интервалах вида  .

24. Тригонометрические функции суммы и разности двух аргументов (теоремы сложения)

Теорема1. Для любых действительных чисел α и β ( ) справедлива формула

            (5.1)

Отметим, что в силу периодичности функции   доказательство этой формулы достаточно провести для значений α и β, удовлетворяющих условиям:  ,  .

Теорема 2. Для любых  справедлива формула

       (5.4)

Для доказательства достаточно воспользоваться формулой (5.1) и свойствами четности функции   и нечетности функции  :

Теорема 3. Для любых   справедлива формула

       (5.5)

Воспользуемся формулами приведения и формулой (5.1):

Теорема 4. Для любых   справедлива формула

            (5.6)

Доказательство. По формуле (5.5), используя свойства четности функции   и нечетности функции  , получаем:

Теорема 5. 1) Для любых      , справедлива формула

            (5.7)

2) Для любых , справедлива формула

            (5.8)

3) Для любых , справедлива формула

      (5.9)

4) Для любых , справедлива формула

      (5.10)

Докажем формулу (5.7):

25. Формулы приведения. Правило для запоминания формул приведения.

1. Формулы приведения позволяют перейти от тригонометрической функции углов вида 90° ± α,180° ± α, 270° ± α или 360° ± α к тригонометрической функции элементарного угла α. Например, формулами приведения являются такие распространенные формулы:  cos (90° − α) = sin α,    sin (90° − α) = cos α

2. Таблица формул приведения  Угол β обозначает исходный "сложный" угол, содержащий элементарный угол α. С помощью данных формул можно перейти от угла β к углу α.

   β°	β рад	sin β	cos β	tan β	cot β
   90° − α	π/2 − α	cos α	sin α	cot α	tan α
   90° + α	π/2 + α	cos α	− sin α	− cot α	− tan α
   180° − α	π − α	sin α	− cos α	− tan α	− cot α
   180° + α	π + α	− sin α	− cos α	tan α	cot α
   270° − α	3π/2 − α	− cos α	− sin α	cot α	tan α
   270° + α	3π/2 + α	− cos α	sin α	− cot α	− tan α
   360° − α	2π − α	− sin α	cos α	− tan α	− cot α
   360° + α	2π + α	sin α	cos α	tan α	cot α

3. Формулы приведения легко запомнить с помощью следующих правил:  −  Если в формуле содержатся углы 180° или 360°, то наименование функции не изменяется. Если же в формуле содержатся углы 90° или 270°, то функция изменяется на ко-функцию (т.е., синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот).  −  Знак в правой части должен соответствовать знаку функции в левой части при условии, что угол α острый.