23. Основные свойства тригонометрических функций: четность, нечетность, периодичность. Знаки значений тригонометрических функций по четвертям.

Синусом числа а называется ордината точки, изображающей это число на числовой окружности. Синусом угла в а радиан называется синус числа а.

Синус - функция числа x. Ее область определения - множество всех чисел, так как у любого числа можно найти ординату изображающей его точки.

Область значений синуса - отрезок от -1 до 1, так как любое число этого отрезка на оси ординат является проекцией какой-либо точки окружности, но никакая точка вне этого отрезка не является проекцией какой-либо из этих точек.

Период синуса равен    . Ведь через каждые   положение точки, изображающей число, в точности повторяется.

Знак синуса:

1. синус равен нулю при   , где n - любое целое число;

2. синус положителен при  , где n - любое целое число;

3. синус отрицателен при 

, где n - любое целое число.

Синус - функция нечетная. Во-первых, область определения этой функции есть множество всех чисел, а значит,   симметрична относительно начала отсчета. А во-вторых, если отложить от начала два противоположных числа: x и -x, то их ординаты - синусы - окажутся также противоположными. То есть   для любого x.

1. Синус возрастает на отрезках  , где n - любое целое число.

2. Cинус убывает на отрезке   , где n - любое целое число.

 при  ;

 при  .

Косинус

Косинусом числа а называется абсцисса точки, изображающей это число на числовой окружности. Косинусом угла в а радиан называется косинус числа а.

Косинус - функция числа. Ее область определения - множество всех чисел, так как у любого числа можно найти ординату изображающей его точки.

Область значений косинуса - отрезок от -1 до 1, так как любое число этого отрезка на оси абсцисс является проекцией какой-либо точки окружности, но никакая точка вне этого отрезка не является проекцией какой-либо из этих точек.

Период косинуса равен   . Ведь через каждые   положение точки, изображающей число, в точности повторяется.

Знак косинуса:

1. косинус равен нулю при   , где n - любое целое число;

2. косинус положителен при   , где n - любое целое число;

3. косинус отрицателен при   , где n - любое целое число.

Косинус - функция четная. Во-первых, область определения этой функции есть множество всех чисел, а значит,   симметрична относительно начала отсчета. А во-вторых, если отложить от начала два противоположных числа: x и -x, то их абсциссы - косинусы - окажутся равными. То есть

 для любого x.

1. Косинус возрастает на отрезках  , где n - любое целое число.

2. Косинус убывает на отрезках   , где n - любое целое число.

 при   ;

 при  .

Тангенс

Тангенсом числа называется отношение синуса этого числа к косинусу этого числа:  .

Тангенсом угла в а радиан называется тангенс числа а.

Тангенс - функция числа. Ее область определения - множество всех чисел, у которых косинус не равен нулю, так как никаких других ограничений в определении тангенса нет. И так как косинус равен нулю при   , то   , где  .

Область значений тангенса - множество всех действительных чисел.

Период тангенса равен   . Ведь если взять любые два допустимые значенияx (не равные   ), отличающиеся друг от друга на  , и провести через них прямую, то эта прямая пройдет через начало координат и пересечет линию тангенсов в некоторой точке t. Вот и получится, что   , то есть число   является периодом тангенса.

Знак тангенса: тангенс - отношение синуса к косинусу. Значит, он

1. равен нулю, когда синус равен нулю, то есть при   , где n - любое целое число.

2. положителен, когда синус и косинус имеют одинаковые знаки. Это бывает только в первой и в третьей четвертях, то есть при   , где а - любое целое число.

3. отрицателен, когда синус и косинус имеют разные знаки. Это бывает только во второй и в четвертой четвертях, то есть при   , где а - любое целое число.

Тангенс - функция нечетная. Во-первых, область определения этой функции симметрична относительно начала отсчета. А во-вторых,   . В силу нечетности синуса и четности косинуса, числитель полученной дроби равен   , а ее знаменатель равен   , а значит, сама эта дробь равна  .

Вот и получилось, что  .

Значит, тангенс возрастает на каждом участке своей области определения, то есть на всех интервалах вида   , где а - любое целое число.