3.3. Система n уравнений с n неизвестными

Рассмотрим систему:

.

Определитель  =  , составленный из коэффициентов при неизвестных, называется (главным) определителем системы. Заменяя 1‑й, 2‑й, ..., n‑й столбец  столбцом свободных членов, соответственно получим дополнительные (вспомогательные) определители ₁, ₂, ..., _n.

Для решения системы умножим 1-е уравнение на алгебраическое дополнение A₁₁ (см. сноску 6 на с. 25), 2-е - на A₂₁, ..., n-е - на A_n1 и сложим полученные выражения:

(а₁₁А₁₁ + ... + а_n1А_n1) х₁ + (а₁₂А₁₁ + ... + а_n2А_n1) х₂ + ... +

+ (а_1nА₁₁ + ... + а_nnА_n1) х_n = b₁А₁₁ + ... + b_nА_n1.

В силу свойств 8, 9 (§2) определителей это равносильно соотношению х₁ = ₁. Аналогично получаются уравнения для остальных неизвестных. В итоге система примет вид:

.

Возможны три случая.

1.   0. Система определенная, ее решения (формулы или правило Крамера). Полученный результат иногда называется критерием единственности решения системы и формулируется следующим образом: система n линейных уравнений с n неизвестными имеет единственное решение тогда и только тогда, когда определитель системы отличен от нуля.

2.   0 и хотя бы один из _i  0 (i = 1, 2, ..., n). Система несовместна.

3.  = ₁ = ₂ = ... = _n = 0. Система может быть несовместной или неопределенной.

В заключение еще раз отметим, что метод Крамера применим только для “квадратных” систем (число уравнений равно числу неизвестных), и требует громоздких (особенно для систем высоких порядков) вычислений определителей. Поэтому этот метод имеет скорее теоретическое значение.

4. Матричный способ (метод обратной матрицы) решения систем линейных уравнений

Матричный способ, как и метод Крамера, используется для решения только “квадратных” систем, у которых число уравнений совпадает с числом неизвестных. Более того, система должна быть определенной. Вначале вводится понятие обратной матрицы.

4.1. Определение обратной матрицы

Для любого числа a  0 существует такое число b, что ab = 1. Число b называют обратным для a. Как уже отмечалось, для операции умножения матриц (соответствующего размера) роль единицы играет единичная матрица E. Естественно поставить вопрос об обратной матрице, которая в произведении с данной даст единичную. Пусть дана квадратная матрица n‑го порядка A  , ей соответствует определитель |A| = .

Определение. Если |A|  0, то матрица A называется невырожденной (неособенной), если |A| = 0, то матрица называется вырожденной (особенной).

О пределение. Квадратная матрица X n-го порядка называется обратной для A, если AX = XA = E. Обозначение обратной матрицы: X = A^‑1, т.е.  AA^–1 = A^–1A = E .⁷

Ясно, что A^‑1 также является квадратной матрицей порядка n и что матрица A является обратной для A^‑1.

Теорема. Для того, чтобы квадратная матрица A имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы матрица A была невырожденной (теорема приводится без доказательства).

Таким образом, если матрица A - вырожденная, то для нее обратной матрицы не существует.

4.2. Нахождение обратной матрицы

Напомним, что A - квадратная матрица n-го порядка. Существуют два способа вычисления обратной матрицы A^–1.

Первый способ.

1). Находим определитель матрицы A и убеждаемся в том, что она невырожденная, т.е. |A|  0.

2). Находим транспонированную матрицу A^T =  .

3). Заменяем каждый элемент транспонированной матрицы соответствующим ему алгебраическим дополнением. Получим матрицу . Матрица (иногда обозначается A^*) называется присоединенной к A (взаимной для A или матрицей алгебраических дополнений).

4). Вычисляем обратную матрицу путем деления присоединенной матрицы на определитель: A^–1  .

Замечание 1. Доказательство теоремы основано на описанном способе.

Замечание 2. Имеет место формула .

Замечание 3. Первый способ применяется для матриц небольшого ( 3) размера.

Замечание 4. В окончательном выражении п. 4) множитель имеет смысл вносить внутрь матрицы (т.е. умножать на него элементы), если получаются целые выражения. В противном случае для дальнейшего (поиска решений системы) удобнее оставить множитель снаружи.

Второй способ.

Этот способ основан на методе Гаусса приведения матрицы к единичной (п. 2 данного параграфа).

1). Находим определитель матрицы А и убеждаемся в том, что она невырожденная, т.е. |А|  0.

2). Приписываем к исходной матрице единичную того же размера, получаем матрицу B = (A|E) размера n2n.

3). Путем элементарных преобразований над строками матрицы B (см. п. 2) приводим ее левую половину - матрицу A - к единичному виду, при этом правая половина - матрица E - также изменяется и переходит в некоторую матрицу X: (A|E)  (E|X).

4). В качестве обратной берем полученную матрицу X = A^–1.

Замечание. Второй способ особенно удобен, когда |А| = 1.