3. Метод определителей (метод Крамера) решения систем линейных уравнений

Метод определителей применим, когда число уравнений системы равно числу неизвестных. Опишем метод, последовательно переходя от систем низких порядков к системам более высоких порядков.

3.1. Система двух уравнений с двумя неизвестными

Рассмотрим систему:

.

Будем решать эту систему методом исключения неизвестных. Сначала выведем уравнение для х₁. Для этого умножим первое уравнение системы на а₂₂, второе - на (– а₁₂) и сложим полученные уравнения, при этом неизвестная х₂ будет исключена:

(a₁₁а₂₂ – a₂₁а₁₂) х₁ = b₁а₂₂ – b₂а₁₂.

Аналогично получается уравнение для х₂: первое уравнение системы умножается на (– a₂₁), второе - на a₁₁, и производится сложение:

(a₁₁а₂₂ – a₂₁а₁₂) х₂ = b₂а₁₁ – b₁а₂₁.

Введем обозначения:

 = = a₁₁а₂₂ – a₂₁а₁₂,

₁ = = b₁а₂₂ – b₂а₁₂, ₂ = = b₂а₁₁ – b₁а₂₁.

 называется (главным) определителем системы, ₁ и ₂ - соответственно первым и вторым дополнительными (вспомогательными) определителями системы⁵. Заметим, что ₁ и ₂ получаются из  заменой соответственно первого или второго столбца на столбец свободных членов. Система примет вид:

.

Возможны следующие три случая:

1.   0 (коэффициенты при неизвестных не пропорциональны). Тогда система имеет единственное решение

.

Полученные выражения называются формулами (правилом) Крамера.

2.  = 0 и при этом по крайней мере один из дополнительных определителей отличен от нуля, т.е. ₁  0 и/или ₂  0 (коэффициенты при неизвестных пропорциональны, но не пропорциональны свободным членам). В этом случае, очевидно, система не имеет решений.

3.  = ₁ = ₂ = 0. В этом случае система имеет бесчисленное множество решений, но не любая пара чисел является решением. В самом деле, из равенства нулю определителей следует пропорциональность коэффициентов и свободных членов:

   a₂₂ = a₁₂, a₂₁ = a₁₁, b₂ = b₁,

где  - коэффициент пропорциональности и предполагается, что знаменатели дробей отличны от нуля.

Система примет вид

.

Итак, в этом случае второе уравнение - следствие первого (верно и обратное). Таким образом, система сводится к одному уравнению, из которого можно выразить одну неизвестную через другую, например, х₁ =  х₂   –  х₂ (а₁₁  0). Задавая произвольные значения х₂ (свободная неизвестная) и вычисляя затем х₁ (главная неизвестная), получим бесчисленное множество решений (т.е. пар x₁, x₂) вида  ‑  х₂, х₂, где х₂  R.

Пример 1. .

Здесь   0, система имеет единственное решение .

Пример 2. .  = _x = _y = 0, система имеет бесчисленное множество решений вида 1.5 – 2.5y, y, где y  R.

Пример 3. .   0, _x  0, _y  0. Нет решений.

3.2. Система трех уравнений с тремя неизвестными

Рассмотрим систему:

.

Введем главный и дополнительные (вспомогательные) определители системы:

.

Видно, что дополнительные получаются из главного заменой соответствующего столбца на столбец свободных членов.

Будем решать эту систему также методом исключения неизвестных. Сначала выведем уравнение для х₁. Для этого умножим первое уравнение на А₁₁ - алгебраическое дополнение⁶ элемента а₁₁, второе уравнение - на А₂₁ (алгебраическое дополнение элемента а₂₁), третье - на А₃₁ (алгебраическое дополнение элемента а₃₁) и сложим полученные уравнения:

(а₁₁А₁₁ + а₂₁А₂₁ + а₃₁А₃₁) х₁ + (а₁₂А₁₁ + а₂₂А₂₁ + а₃₂А₃₁) х₂ +

+ (а₁₃А₁₁ + а₂₃А₂₁ + а₃₃А₃₁) х₃ = b₁А₁₁ + b₂А₂₁ + b₃А₃₁

В соответствии со свойством 8 (§2) определителей, коэффициент перед х₁ есть главный определитель системы  (разложение  по элементам первого столбца), а выражение в правой части - первый дополнительный определитель ₁ (также разложение ₁ по элементам первого столбца). Согласно свойству 9 (§2), коэффициенты перед х₂ и х₃ равны нулю (элементы второго и третьего столбца  умножаются на алгебраические дополнения элементов первого столбца). Таким образом, получаем уравнение для х₁: ·х₁ = ₁. Аналогично могут быть выведены уравнения для х₂ и х₃. Система примет вид:

.

Возможны следующие случаи:

1.   0. Система имеет единственное решение (формулы или правило Крамера):

.

2.   0 и хотя бы один из дополнительных определителей не равен нулю. Система не имеет решений.

3.  = ₁ = ₂ = ₃ = 0. Здесь возникает отличие от системы двух уравнений с двумя неизвестными (п. 3.1, случай 3). Именно, система трех уравнений с тремя неизвестными в данном случае может иметь бесчисленное множество решений либо не иметь решений. Приведем некоторые практические правила для нахождения ответа.

1). Если есть противоречивые уравнения, то решений нет.

Пример. .  = _x = _y = _z = 0. Система не имеет решений, т.к., например, первое и третье уравнения противоречивы.

2). Если нет противоречивых уравнений, и при этом одно из уравнений есть следствие других, то система имеет бесчисленное множество решений (для нахождения вида решений “лишнее” уравнение отбрасывается, как и для системы второго порядка).

Пример. .  = _x = _y = _z = 0.

Здесь третье уравнение есть сумма первого и второго. Оставляя два первых уравнения и выражая х и у (главные неизвестные) через z (свободная неизвестная), находим, что система имеет бесчисленное множество решений (т.е. троек чисел x, y, z) вида , где z  R.

Заметим, что “лишними” могут оказаться и два уравнения, если они являются следствиями одного. Тогда имеют место две свободных неизвестных и одна главная.