2. Метод (схема) Гаусса решения систем линейных уравнений (метод последовательного исключения неизвестных)
Рассматривается система m линейных уравнений с n неизвестными. Будем решать ее параллельно двумя способами: оперируя уравнениями системы и строками расширенной матрицы системы. Вначале введем некоторые вспомогательные понятия.
2.1. Элементарные преобразования
Определение. Две системы называются равносильными (эквивалентными), если множества их решений совпадают.
Это означает, что, либо все решения одной системы являются решениями другой (и наоборот), либо обе эти системы не имеют решений.
Таблица элементарных преобразований
№ п/п |
Система линейных уравнений |
Расширенная матрица |
1 |
Перемена местами двух уравнений |
Перемена местами двух строк |
2 |
Умножение любого уравнения на отличное от нуля число |
Умножение любой строки на отличное от нуля число |
3 |
Сложение (вычитание) двух уравнений |
Сложение (вычитание) двух строк |
Эти преобразования называются элементарными преобразованиями системы линейных уравнений и расширенной матрицы. Элементарные преобразования переводят систему уравнений в равносильную ей.
Замечание 1. Если в результате элементарных преобразований получится уравнение вида 0х1 + 0х2 + ... + 0хn = 0 (нулевая строка4), то его (ее) можно отбросить.
Замечание 2. Если в результате элементарных преобразований получится противоречивое уравнение вида 0х1 + 0х2 + ... + 0хn = b 0, т.е. строка (0 0 ... 0b) , то система не имеет решений.
Перейдем к описанию собственно метода Гаусса.
2.2. Метод Гаусса
Изложим метод в виде последовательности шагов (действий).
1-й шаг. Пусть
a11 0.
Сначала исключаем неизвестную х1
из всех уравнений системы, кроме первого,
или, иными словами, первый столбец
расширенной матрицы приводим к виду
.
Для этого выполним следующие операции.
1). Разделим 1-е уравнение (1-ю строку) на a11, получим систему и матрицу
.
2). Из 2-го уравнения системы вычтем первое, умноженное на a21 (из 2-й строки вычтем 1-ю, умноженную на a21), условно запишем эту операцию в виде: (2) – (1)a21.
3). (3) – (1)a31.
...
m). (m) – (1)am1.
Получим
.
Здесь введены обозначения:
,
где i = 2, 3, …, m; j = 2, 3, ..., n.
В ходе дальнейших преобразований 1-е уравнение системы и 1-й столбец матрицы остаются неизменными.
2-й шаг. Пусть
0.
Исключаем x2
из всех уравнений, кроме 1-го и 2-го, т.е.
приводим 2-й столбец матрицы к виду
.
Для этого выполним следующие операции.
1). Разделим 2-е уравнение (2-ю строку) на .
2). Из
3-го уравнения системы вычтем 2-е,
умноженное на
(из 3-й строки вычтем 2-ю, умноженную на
),
условно запишем эту операцию в виде:
(3) – (2)
.
...
m-1).
(m) – (2)
.
Получим
.
3-й шаг, 4-й шаг, ... Продолжая этот процесс, в конечном итоге придем либо к системе уравнений и матрице вида
,
либо к системе и матрице вида
,
(p
<
n,
pm).
Системы и матрицы первого вида называются треугольными, второго вида – ступенчатыми (или трапециевидными).
Шаги 1, 2, 3 и т.д. (преобразования над системой и матрицей выполняются “сверху вниз”) образуют прямой ход схемы Гаусса (I-й этап). Дальнейшие действия (“снизу вверх”) составляют обратный ход схемы Гаусса (II-й этап).
Обратный ход схемы Гаусса. Последовательно находим решения системы.
Сначала
рассмотрим систему треугольного вида.
Из последнего уравнения xn = 
.
Подставляя найденное значение xn
в (n – 1)-е
уравнение, находим xn–1.
Подставляя xn
и xn–1
в (n – 2)-е
уравнение, находим xn–2
и т.д. Система имеет единственное решение.
В случае ступенчатой системы поступают следующим образом. (n ‑ p) неизвестным (называемым свободными), например: xp+1, xp+2, ..., xn - придают произвольные значения. Свободные неизвестные играют роль параметров. Остальные p неизвестных (называемые главными): x1, x2, ..., xp - выражают через свободные таким же образом, как и для треугольной системы. Именно, из последнего (p-го) уравнения выражаем xp, подставляем полученное выражение в (p – 1)-е уравнение, находим xp-1, и т.д. В этом случае система имеет бесчисленное множество решений (конкретного вида).
Решение системы закончено.
Замечание 1. В приведенном теоретическом описании шагов 1, 2, … использовались элементарные преобразования только двух видов (2 и 3, см. Таблицу в п. 2.1). На практике весьма эффективно может применяться и перемена местами уравнений (строк).
Замечание 2. Действия прямого хода схемы Гаусса могут выполняться (и выполняются на практике) только над расширенной матрицей, возврат к уравнениям происходит на II-ом этапе (обратный ход схемы Гаусса).
Завершая изучение метода Гаусса, еще раз перечислим его возможные исходы.
1. Если система (матрица) приводится к треугольному виду, то система уравнений является совместной и определенной.
2. Если система (матрица) приводится к ступенчатому виду, то система уравнений является совместной и неопределенной.
3. Если по ходу преобразований возникает противоречивое уравнение (строка матрицы), то система уравнений несовместна (см. Замечание 2 к п. 2.1).
Пример. Решить
систему методом Гаусса:
.
Решение. В=
.
Последовательность действий над строками матрицы B в сокращенной записи имеет следующий вид.
1.1. (1)
(3)
- меняем местами 1-ю и 3-ю строку (это
рациональнее деления 1-й строки на 2).
1.2. (2) (1) 3, т.е. из 2-й строки вычитаем 1-ю, умноженную на 3.
1.3. (3) (1) 2.
2.1. (3) 2 (2).
2.2. (2) (3).
2.3. (3) (2) 5.
3.1. (3) : 2.
На этом заканчивается прямой ход схемы Гаусса.
Матрица
приведена к треугольному виду В
.
Обратный ход: х3 = 3; х2 = 2х3 – 4 = 2; х1 = х2 – 2х3 + 5 = 1.
Ответ: Система имеет единственное решение х1 = 1, х2 = 2, х3 = 3.