5.2. Миноры, алгебраические дополнения

Рассмотрим определитель n-го порядка.

Минор M_ij, соответствующий элементу a_ij, - это определитель (n – 1)‑го порядка, полученный из данного вычеркиванием i-й строки и j‑го столбца.

Алгебраическим дополнением A_ij элемента a_ij называется минор M_ij, взятый со знаком плюс, если (i + j) - четное число, со знаком минус, если (i + j) - нечетное:

A_ij = (–1)^{i + j}M_ij .

6. Свойства определителей n-го порядка

Свойства определителей n-го порядка аналогичны свойствам 19 определителей 3-го порядка (п. 4). При вычислении определителей наиболее употребительны свойства 7 и 8. Именно, пользуясь свойством 7, стремятся получить в какой-либо строке (столбце) возможно большее количество нулей, а затем (свойство 8) раскладывают определитель по элементам этой строки (столбца).

Пример 1.

= (–3)·(–1)²· –117.

Здесь вначале из первой строки вычитается 3-я, затем определитель раскладывается по 1-й строке, при этом получаем определитель 3-го порядка, далее (для получения еще одного нуля в 1-й строке) из 3-го столбца вычитается удвоенный 1-й, и производится разложение по 1-й строке.

Пример 2. Определитель треугольной матрицы (любого порядка) равен произведению элементов главной диагонали.

Опираясь на этот факт, можно предложить еще один способ вычисления определителя. Именно, вначале, пользуясь свойством 7, определитель приводят к треугольному виду, затем находят произведение диагональных элементов. Приведение к треугольному виду можно выполнять стандартно, например, по схеме Гаусса (§3, п. 2).

При вычислении конкретного определителя следует стремиться найти рациональную (по возможности короткую и простую) последовательность действий.

§3. Системы линейных уравнений

Одним из приложений аппарата матриц и определителей являются системы линейных уравнений. Теория таких систем наиболее разработана, они находят широкое практическое применение. Из курса средней школы необходимо знать определение и содержание следующих понятий: уравнение, линейное уравнение, решение (корень) уравнения, решить уравнение, системы (двух) линейных уравнений и способы их решения, геометрическая интерпретация линейных уравнений и систем.

1. Основные определения

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными:

,

где х_j (j = 1, 2, ..., n) - неизвестные (искомые) величины;

а_ij (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n) - заданные коэффициенты при неизвестных;

b_i (i = 1, 2, ..., m) - заданные свободные члены.

Если m = n, т.е. число уравнений совпадает с числом неизвестных, имеем систему n уравнений с n неизвестными.

Решением системы называется такой набор значений c₁, c₂, ..., c_n, что каждое из уравнений системы обращается в тождество при подстановке c_j вместо х_j (j = 1, 2, ..., n). По числу решений системы линейных уравнений делятся на следующие типы:

совместная система - это система, имеющая хотя бы одно решение;

несовместная (противоречивая) система - это система, не имеющая ни одного решения;

определенная система - это система, имеющая единственное решение;

неопределенная система - это система, имеющая более одного решения.

Матрица А = , составленная из коэффициентов при неизвестных, называется матрицей системы; матрица В =  , образованная присоединением (приписыванием) к матрице A столбца свободных членов, называется расширенной матрицей системы.

Далее будут рассмотрены основные методы решения линейных систем. Наиболее практичным и универсальным является метод Гаусса. Он используется также при вычислении определителей (§2, п. 6), нахождении обратной матрицы (второй способ, п. 4.2 данного параграфа) и нахождении ранга матрицы (§4, п. 3).