3.2. Миноры, алгебраические дополнения

Рассмотрим определитель 3-го порядка.

М инор M_ij, соответствующий элементу a_ij, - это определитель (2-го порядка), полученный из данного вычеркиванием i-й строки и j-го столбца. Например, M₁₂ = . Формулу для вычисления определителя 3-го порядка теперь можно переписать следующим образом: |А| = а₁₁М₁₁ ‑ а₁₂М₁₂ + а₁₃М₁₃. Ликвидировать минус в последнем выражении можно, введя новое понятие.

Алгебраическим дополнением A_ij элемента a_ij называется минор M_ij, взятый со знаком плюс, если (i + j) - четное число, со знаком минус, если (i + j) - нечетное:

A_ij = (–1)^{i + j} M_ij .

Итак, алгебраическое дополнение - это минор со знаком. Схема расположения знаков для определителя третьего порядка имеет вид: Формула для вычисления определителя через алгебраические дополнения приводится в следующем пункте (8-е свойство).

4. Свойства определителей 3-го порядка

Свойства 17 аналогичны свойствам определителей 2-го порядка (п. 2).

8. Определитель 3-го порядка равен сумме попарных произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения (теорема или формула Лапласа):

|А| = а_i1A_i1 + а_i2A_i2 + а_i3A_i3 = а_1jA_1j + а_2jA_2j + а_3jA_3j,

где i, j = 1, 2, 3. Этот способ вычисления называется разложением определителя по элементам строки или столбца.

Пример 1. Вычислить |А| = .

Здесь наиболее “выгодным” является 2-й столбец, раскладывая по элементам этого столбца, получим

|А| = 2·А₁₂ = 2·(–1)¹⁺²· = (–2) (28 – 30) = 4.

Пример 2. = а₁₁а₂₂а₃₃.

Таким образом, определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали.

9. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю.

Пример. Если возьмем элементы 1-ой строки и “чужие” алгебраические дополнения, например, элементов 2-ой строки, то получим a₁₁A₂₁ + a₁₂A₂₂ + a₁₃A₂₃ = 0.

5. Определители n-го порядка

5.1. Определение определителя n-го порядка

Рассмотрим квадратную матрицу A 4-го порядка. Определитель 4‑го порядка матрицы A обозначается также с помощью вертикальных черточек и определяется через определители 3-го порядка посредством формулы Лапласа (п. 4), т.е. путем разложения по элементам какой-либо строки или столбца, например (разложение по 1-ой строке):

= a₁₁A₁₁ + a₁₂A₁₂ + a₁₃A₁₃ + a₁₄A₁₄.

Здесь определители 3-го порядка входят в правую часть равенства через алгебраические дополнения.

Аналогично (по индукции) определяются определители матриц более высоких порядков. Таким образом, определитель n-го порядка матрицы A определяется с помощью формулы Лапласа через определители (n – 1)‑го порядка:

|А| .

Здесь первая сумма представляет собой разложение по элементам i-й строки (i = 1, 2, ..., n), вторая - по элементам j-го столбца (j = 1, 2, ..., n).

Если последовательно раскладывать определитель n-го порядка на определители более низких порядков, то в конечном итоге получим алгебраическую сумму всевозможных произведений из n элементов. Каждое произведение включает в себя элементы различных строк и столбцов.