§2. Определители и их свойства

Если матрица - это таблица, упорядоченная совокупность чисел, то определитель - это одно число, характеризующее данную (квадратную) матрицу и вычисляемое через элементы этой матрицы.

1. Определители 2-го порядка

Пусть A - квадратная матрица 2-го порядка: A = .

Определение. Определитель (детерминант) матрицы A - это число, обозначаемое |А| или , и равное:

|А| = = а₁₁а₂₂ – а₂₁а₁₂,

т.е. равное произведению элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали.

Н аряду с указанными встречается обозначение detA. Мнемоническая схема для подсчета определителя:

Пример. = – 4 – (– 6) = 2.

В заключение данного пункта отметим, что элементы матрицы A можно рассматривать как определители 1-го порядка: a₁₁= a₁₁.

2. Свойства определителей 2-го порядка

Свойства определителей 2-го порядка доказываются на основе определения.

1. Определитель не изменится, если все его строки поменять местами с соответствующими столбцами, т.е. |А| = .

1. При перемене местами двух строк (или двух столбцов) определитель меняет знак.

1. Если все соответствующие элементы двух строк (двух столбцов) совпадают, то определитель равен нулю.

1. Общий множитель элементов какой-либо строки (какого-либо столбца) можно выносить за знак определителя.

1. Если все элементы одной строки (одного столбца) пропорциональны соответствующим элементам другой строки (другого столбца), то определитель равен нулю (3-е свойство является частным случаем данного).

1. Если все элементы какой-либо строки (какого-либо столбца) равны нулю, то определитель равен нулю.

1. Определитель не изменится, если к элементам одной строки (одного столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (другого столбца), умноженные на одно и то же число. При этом преобразовании элементы одного ряда (строки или столбца) меняются, а элементы другого ряда остаются неизменными.

Замечание к свойству 7. В этом свойстве важен порядок действий. Именно, элементы меняемого ряда (первые слагаемые) не умножаются на число, умножать можно только вторые слагаемые, т.е. элементы ряда, остающегося неизменным в результате данной операции. Если обозначить через a_i и a_k соответственно i-й и k-й ряд (строку или столбец), то преобразование a_i + a_k верно, а a_i + a_k неверно! Действительно, пусть = , тогда =  (к элементам 1-ой строки прибавляем элементы 2-ой строки, умноженные на , преобразование a₁ + a₂ - верно), но =  (элементы 1-ой строки сначала умножили на , а затем прибавили 2-ю строку, преобразование a₁ + a₂ - неверно, определитель изменился).

3. Определители 3-го порядка

3.1. Определение определителя 3-го порядка

Пусть A - квадратная матрица 3-го порядка:

A = .

Определение. Определителем 3-го порядка матрицы A называется число, обозначаемое |A| или , и равное

|A| = =

= а₁₁а₂₂а₃₃ – а₁₁а₃₂а₂₃ – а₁₂а₂₁а₃₃ + а₁₂а₃₁а₂₃ + а₁₃а₂₁а₃₂ – а₁₃а₃₁а₂₂.

Таким образом, определитель 3-го порядка определяется через определители 2-го порядка. В результате получается сумма шести слагаемых (три - со знаком плюс, три - со знаком минус), каждое из которых есть произведение трех элементов из разных строк и столбцов. Мнемоническая схема вычисления (схема треугольников, правило Саррюса):

Пример. = 351.