2. Операции над матрицами

Строго говоря, одна операция (над одной матрицей) уже введена - транспонирование матрицы. Перейдем к другим операциям над матрицами. Предварительно введем отношение равенства матриц.

Две матрицы одного размера равны, если равны их соответствующие¹ элементы:

A = B  a_ij = b_ij.²

2.1. Результатом операции сложения матриц является их сумма. Суммой двух матриц A и B одного размера называется матрица C того же размера, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов A и B:

C = A + B  c_ij = a_ij + b_ij.

В частности, O + A = A + O = A, где O – матрица того же размера, что и A.

2.2. Результатом умножения матрицы на число является произведение матрицы на число:

A = (a_ij),

где A - исходная матрица;  - действительное число.

Следовательно, произведение A есть матрица (того же размера, что и A), для нахождения которой надо каждый элемент исходной матрицы умножить на это число.

В частности, при  = 1 получается матрица, которая обозначается A и называется противоположной A: (1)A = A.

Пусть A и B - матрицы одного размера. Разностью матриц называется выражение A  B = A + (B). В частности, A – A = O. Здесь O – матрица того же размера, что и A.

2.3. Результатом операции умножения матриц является их произведение.

Определение. Если число столбцов матрицы A размера mr равно числу строк матрицы B размера rn, то произведение C = AB есть матрица размера mn, элементы которой вычисляются по формуле:

c_ij = a_ikb_kj = a_i1b_1j + a_i2b_2j + ... + a_irb_rj.³

Ниже приведена схема перемножения элементов i-й строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B для получения (после суммирования полученных попарных произведений) элемента c_ij матрицы C:

.

Итак, число столбцов первой матрицы должно быть равно числу строк второй, иначе произведение матриц не существует (не определено).

Пример. A = , B = , найти AB и BA.

Ответ: AB = , BA = .

Следовательно, в отличие от произведения чисел, для произведения матриц в общем случае AB  BA. Более того, из существования AB не следует существования BA. Если все же AB = BA, то матрицы A и B называются перестановочными. Заметим, что перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного порядка.

В последующих выражениях будет подразумеваться, что произведение матриц существует.

Произведение матриц обладает ассоциативным (сочетательным) свойством:

(AB)C = A(BC) = ABC.

Пусть E – единичная матрица порядка n. Тогда AE = A для произвольной матрицы A, имеющей n столбцов; EA = A для матрицы A, имеющей n строк; AE = EA = A для любой квадратной матрицы A порядка n.

Пусть O_mn – нулевая матрица размера mn. Тогда, A_kmO_mn = O_kn, O_mnA_nr = O_mr и AO = OA = O для квадратных матриц A и O порядка n. Заметим, что произведение может быть нуль-матрицей, даже когда ни одна из матриц-сомножителей не является нулевой, например:

.

3. Запись системы линейных уравнений в матричной форме

Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестными:

.

Введем в рассмотрение матрицу коэффициентов A, столбец неизвестных x и столбец свободных членов b:

A = .

Тогда, учитывая правило перемножения матриц, систему можно записать в более компактной форме:

Ax = b .