§1. Матрицы и действия над ними

Матрицы - это удобное средство представления (сжатия) информации, позволяющее оперировать с совокупностью чисел, переменных как с единым математическим объектом. Вначале даются основные определения, затем вводятся операции над матрицами, в заключение приводится одно из приложений аппарата матриц.

1. Основные определения

1.1. Определение. Матрицей размера mn называется прямоугольная таблица, состоящая из элементов, расставленных в m строк и n столбцов.

Иногда используется обобщенный термин ряд, подразумевающий строку или столбец. В качестве элементов матрицы могут фигурировать различные математические объекты (числа, функции), в рамках данного пособия мы будем считать элементы матрицы принадлежащими множеству действительных чисел R.

Элементы матрицы будем обозначать строчными буквами с двойной индексацией: a_ij, где индекс i - это номер строки, j - номер столбца. Полное обозначение матрицы представляет собой таблицу элементов, заключенную в круглые скобки. Сокращенно матрицы будут обозначаться прописными латинскими буквами без скобок или строчными латинскими обозначениями элементов в круглых скобках; без индексов или с индексами, указывающими размер: A, B, C, А_mn, (a_ij), (a_ij)_mn.

A = А_mn = (a_ij) = (a_ij)_mn =

Матрица, состоящая из одного столбца, иначе называется вектор-столбцом или просто столбцом; аналогично, вектор-строка (или просто строка) - это матрица, состоящая из одной строки.

Вектор-столбец и вектор-строку будем обозначать строчными латинскими буквами с индексами или без них:

a = a_n1 = , b = b_1n = (b₁, b₂, …, b_n).

1.2. Нулевая матрица (нуль-матрица) - это матрица (любого размера), все элементы которой равны нулю. Обозначается буквой O.

O = .

В дальнейшем мы увидим, что роль O при операциях над матрицами (соответствующего размера) подобна роли нуля при операциях над числами.

1.3. Если у матрицы A число строк равно числу столбцов, т.е. m = n, то A называется квадратной матрицей порядка n.

1.4. Главная диагональ квадратной матрицы A - это множество элементов a_ij, для которых i = j. Таким образом, ее образуют элементы (a₁₁, a₂₂, ..., a_n-1n-1, a_nn). Другая большая диагональ квадратной матрицы называется побочной, ее образуют элементы (a_n1, a_n-1 2, ..., a_2 n-1, a_1n).

- главная диагональ, - побочная диагональ.

1.5. Квадратная матрица порядка n, у которой все элементы главной диагонали равны 1, а остальные элементы равны 0, называется единичной матрицей n-го порядка. Обозначается буквой E.

E = = (_ij),

где _ij - символ Кронекера, т.е. _ij = .

Далее будет показано, что роль E для операции умножения матриц (соответствующего размера) подобна роли единицы при умножении чисел.

Диагональной называется квадратная матрица, все элементы которой, за исключением, быть может, элементов главной диагонали, равны нулю. Таким образом, единичная матрица - частный случай диагональной.

Треугольной называется квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные выше (или ниже) главной диагонали, равны нулю.

Симметрическая матрица - это квадратная матрица, для которой a_ij = a_ji, т.е. элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны.

1.6. Определение. Если у матрицы A строки поменять местами со столбцами таким образом, чтобы i-я строка стала i-м столбцом, то полученная матрица называется транспонированной и обозначается A^T (или A^).

A = , A^T = .

Таким образом, если A = (a_ij)_mn, то A^T = (b_ij)_nm, причем b_ij = a_ji, т.е. a_ij^T = a_ji.

Если A - симметрическая, то A^T = A.

Пример 1. E^T = E.

Пример 2. “Транспонировать лист бумаги”. Представим, что на листе изображена матрица. Необходимо произвести такие манипуляции с листом, чтобы эта матрица перешла в транспонированную.