3. Вычисление ранга матрицы

Вспомним элементарные преобразования матриц (§3, п. 2.1).

Определение. Матрицы, получающиеся одна из другой при элементарных преобразованиях, называются эквивалентными.

Теорема. Ранги эквивалентных матриц равны (теорема приводится без доказательства).

Этим можно воспользоваться при вычислении ранга. Именно, вначале матрица “упрощается”, т.е. с помощью метода Гаусса приводится к треугольному или ступенчатому виду. В результате получается эквивалентная матрица, имеющая тот же ранг. Ранг “упрощенной” матрицы устанавливается элементарно, на основе правила вычисления определителя треугольной матрицы (§2, п. 6, пример 2).

Пример. А = .

Теперь нулевую строку можно отбросить (все M₄ = 0). M₃ = = 5  0  r(A) = 3. Обратим внимание на то, что в итоговой матрице первые ненулевые элементы в строках не обязательно приводить к единице.

4. Теорема Кронекера-Капелли (критерий совместности)

При решении систем линейных уравнений бывает необходимо установить, совместна ли система, не находя ее решений. Ответ на этот вопрос и дает данная теорема, при этом используется понятие ранга матрицы.

Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестными:

.

Введем в рассмотрение матрицу системы А и расширенную матрицу системы В:

Теорема. Для того чтобы система линейных уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы системы, т.е. r(A) = r(B).

При этом возможны следующие варианты.

1). Если r(A) = r(B) = n (ранг равен числу неизвестных), то система имеет единственное решение.

2). Если r(A) = r(B)  n, то система имеет бесчисленное множество решений.

3). Если r(A)  r(B), то система не имеет решений (теорема приводится без доказательства).

Отметим, что достаточно выполнять преобразования над матрицей B, при этом автоматически преобразуется и матрица А (как часть В).

Таким образом, для исследования системы выполняется преобразование матрицы В (прямой ход схемы Гаусса или иной способ), затем находятся ранги А и В. Если установлено, что система совместна и требуется найти решение, то “половина работы” уже выполнена. Остается осуществить обратный ход схемы Гаусса.

Пример. Исследовать систему: .

Решение: В = .

M₃ = = 1  0  r(A) = r(B) = 3  система имеет единственное решение.

Приложение 1 Греческий алфавит

Прописные	Строчные	Название
		альфа
		бета (бэта)
		гамма
		дельта
		эпсилон
		дзета
		эта
	, 	тета
		йота (иота)
	x, X, 	каппа
		ламбда (лямбда)
		мю
		ню
		кси
		омикрон
		пи
		ро
		сигма
		тау
		ипсилон (юпсилон)
		фи
		хи
		пси
		омега