4.3. Матричный способ решения определенной системы линейных уравнений

Рассмотрим систему:

.

К ак мы уже знаем (§1, п. 3), ее можно записать в матричной форме Ax = b, где A = , x = , b = . Т.к. система предполагается определенной, то |А|  0 и существует A^–1. Умножим матричное уравнение слева на A^–1: A^–1Ax = A^–1b. Поскольку A^–1Ax = Ex = x, то  x = A^–1b . Это и есть решение исходной системы, записанное с помощью обратной матрицы.

Таким образом, матричный способ решения заключается в нахождении обратной матрицы (кстати, попутно выясняется вопрос об определенности системы) и нахождении вектора неизвестных x по выведенной формуле.

Замечание. Этот способ удобен, когда необходимо решить ряд систем, отличающихся только свободными членами b_i (у этих систем общая обратная матрица).

§4. Ранг матрицы

Ранг - довольно сложное понятие, оно широко используется в различных разделах математики. В данном параграфе представлено одно из приложений, связанное с решением систем линейных уравнений. Уточнение содержания этого понятия будет дано в следующей главе, при рассмотрении вопросов линейной независимости векторов, в так называемой теореме о ранге матрицы.

1. Минор k-го порядка

Рассмотрим матрицу размера mn:

А = .

Выделим (выберем) в этой матрице произвольно k различных строк и k различных столбцов (k  m, k  n). Элементы, стоящие на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу (клетку, подматрицу матрицы А) порядка k, для которой можно вычислить определитель.

Определение. Минором k-го порядка (M_k) матрицы А называется определитель квадратной матрицы (k-го порядка), элементы которой стоят на пересечении k разных строк и k разных столбцов матрицы A.

Замечание 1. Данное понятие (M_k) не следует путать с понятием минора, соответствующего элементу (M_ij, §2, п. 5.2). Именно, M_k существует для любой матрицы (не обязательно квадратной) и получается из нее выделением строк и столбцов, M_ij существует для определителя (т.е. исходная матрица - квадратная) и получается из него вычеркиванием одной строки и одного столбца. Как M_k, так и M_ij суть определители, т.е. числа (в каком-то смысле характеризующие соответственно матрицу или определитель).

Замечание 2. Очевидно, k  min(m, n)⁸. Сами элементы матрицы А могут рассматриваться как миноры первого порядка.

Пример. Сколько миноров 3-го порядка можно составить из матрицы А размера 34?

Решение. Занумеруем столбцы исходной матрицы цифрами 1, 2, 3, 4. Каждый из миноров 3-го порядка получается выделением трех (т.е. всех) строк и трех (из четырех) столбцов А. Возможны следующие сочетания из трех столбцов: (1, 2, 3), (1, 2, 4), (1, 3, 4), (2, 3, 4). Всего таких сочетаний четыре, следовательно, и миноров 3‑го порядка тоже четыре.

Ответ: 4.

Одни из миноров могут быть равными нулю, другие - отличными от нуля. Именно это обстоятельство важно для дальнейшего.

2. Определение ранга матрицы

По-прежнему рассматривается матрица А размера mn.

Определение. Рангом матрицы называется наибольший из порядков ее отличных от нуля миноров.

Ранг матрицы А обозначается через r(A) или rang(А). Очевидно, 0  r(A)  min(m, n). Таким образом, если r(A) = r, то:

1). среди миноров порядка r имеется хотя бы один, отличный от нуля;

2). все миноры порядка, большего r, равны нулю, либо минор имеет максимальный возможный порядок r(A) = min(m, n), т.е. миноров большего порядка для матрицы A составить нельзя.

Замечание. Типичной ошибкой является приписывание рангу значения ненулевого минора. Ранг - это не значение, а размер (порядок) максимального ненулевого минора!

В соответствии с определением, алгоритм вычисления ранга мог бы быть следующим. Вычисляются миноры максимального порядка k = min(m, n). Если среди них встречается не равный нулю, то r(A) = k. Если все миноры порядка k равны нулю, вычисляем миноры порядка k – 1 и т.д. Однако этот путь громоздкий, т.к. может потребовать вычисления большого числа определителей (миноров). На практике используется иной способ.