Задача 3 (15 баллов)

Фирма «Wanted & Co» предложила жителям города N инновационный продукт: примус, не требующий для своей работы никакого топлива. По утверждению руководства фирмы, примус питается темной энергией, которую порождает темная материя. Поскольку примус является предметом первой необходимости, фирма продает его по установленной государством цене. А для того, чтобы укрепить доверие покупателей, фирма пообещала вернуть деньги всем покупателям, которые усомнятся в качестве товара. Правда, это можно будет сделать только через 30 дней после покупки. Например, покупатель, который приобрел примус в первый день продажи, может вернуть его и получить назад свои деньги в 31-й день продажи.

Через некоторое время руководство фирмы обнаружило, что число примусов, которое продается в n-й день, определяется формулой: q = –n ² + 40n + 100. Вообще говоря, этого следовало ожидать. Сначала покупатели расхватывают сверхэкономичные примусы как горячие пирожки, а потом, убедившись, что примусы не работают ни на темной энергии, ни даже на керосине, начинают отговаривать других от покупки.

По окончании очередного дня продажи примусов руководство фирмы поняло, что, начиная со следующего дня, сумма денег, которую фирма сможет увезти из города, начнет уменьшаться. Поэтому поздним вечером оно быстро собрало чемоданы и бесследно исчезло из города. Вопрос: сколько всего дней фирма «Wanted & Co» торговала примусами?

Решение

Очевидно, последний день продажи примусов – это такой день, когда фирма выручит от продажи ровно столько денег, сколько должна будет вернуть недовольным покупателям, купившим примусы 30 дней назад. Начиная со следующего дня выручка будет меньше, чем сумма денег, которую надо будет возвращать. Т.е. существуют такие n-й и (n + 30)-й дни, когда число проданных примусов будет равно.

Это условие можно записать в виде следующего равенства:

–n ² + 40n + 100 = –(n + 30) ² + 40(n + 30) + 100. n = 5.

Последним днем торговли будет (n + 30)-й день, т.е. 35-й.

Ответ: 35 дней.

Критерии оценки

Если задача не решена полностью, но получены следующие результаты:

а) правильно построен график функции q = –n ² + 40n + 100 – 3 балла;

б) школьник догадался, что существуют пары дней, когда продается равное число примусов – 3 балла;

в) установлен критерий для определения последнего дня торговли – 3 балла.

Если задача решена правильно любым корректным способом – 15 баллов.

Задача 4 (20 баллов)

В одной местности, где хозяева заводов и фабрик слабо наслышаны о правах трудящихся, заработную плату рабочим выдают, как правило, той продукцией, которую они производят. В частности, на заводе, выпускающем чайники, зарплату выдают исключительно чайниками. Функция предложения труда для владельца завода имеет вид: L = w – 70, где L – число рабочих, которые согласятся работать на заводе, w – месячная зарплата, выраженная в чайниках. Все чайники, полученные в качестве зарплаты, рабочие продают на местном рынке, где конкурируют с хозяином завода, который все оставшиеся у него чайники также продает на местном рынке. Функция спроса на чайники на местном рынке (в расчете на месяц): Q = 3000 – P. Чайники других заводов на местный рынок не поступают. Каждый рабочий в течение месяца производит на своем рабочем месте 100 чайников. Хозяин завода стремится максимизировать сумму денег, которую он получает от продажи чайников, оставшихся у него после выдачи заработной платы рабочим (назовем эту сумму «прибылью»).

Какую максимальную прибыль может получать в течение месяца хозяин завода?

Решение

P = 3000 – Q. Q = 100L. L = 0,01Q. w = L + 70 = 0,01Q + 70.

Прибыль хозяина завода:  = (Q – wL)P =

= [Q – (0,01Q + 70)0,01Q](3000 – Q) = 0,0001Q³ – 0,6Q² + 900Q.

Максимум прибыли достигается при условии:

 = 0,0003Q² – 1,2Q + 900 = 0. Q _1,2 = = .

Можно доказать, что максимум  достигается при Q = 1000 (так как при этом вторая производная функции  отрицательна).

 = 0,0001 1000³ – 0,6 1000² + 900 1000 = 400000.

Ответ: 400000.

Критерии оценки

Если задача решена правильно любым корректным способом – 20 баллов.

Задача 5 (20 баллов)

В экономике производятся только три товара: X, Y и Z. Из них в потребительскую корзину включаются X и Z. Данные по товарам представлены в таблице. Базовым является 2013 г.

	2012		2013
	P (тыс. руб.)	Q (шт.)	P (тыс. руб.)	Q (шт.)
X	3	20	3	25
Y	35	6	40	5
Z	14	10	15	8

Рассчитайте

1.Номинальный ВВП 2012 года, в тыс. руб. – 1 балл

2.Номинальный ВВП 2013 года, в тыс. руб. – 1 балл

3. Реальный ВВП 2012 года, в тыс. руб. – 1 балл

4. Реальный ВВП 2013 года, в тыс. руб. – 1 балл

5.Индекс потребительских цен 2012 года в долях – (указать ТРЕТИЙ знак после запятой) – 1 балл

6.Индекс потребительских цен 2013 года в долях – (указать ТРЕТИЙ знак после запятой) – 1 балл

7.Дефлятор ВВП 2012 года в долях – (указать ТРЕТИЙ знак после запятой) – 1 балл

8.Дефлятор ВВП 2013 года, в долях – (указать ТРЕТИЙ знак после запятой) – 1 балл

9.Темп инфляции, в процентах – (указать ОДИН знак после запятой) – 2 балла

10.Темп изменения стоимости жизни, в процентах – (указать ОДИН знак после запятой) – 2 балла

11.Сделать выводы:

11.1. Соотношение реального ВВП в 2012 и 2013 гг. – 2 балла

11.2. Соотношение потребительских цен и цен производителей – 3 балла

11.3. О динамике цен в целом в экономике – 3 балла

РЕШЕНИЕ

(первый способ)

(второй способ)

ВЫВОДЫ:

11.1. Соотношение реального ВВП в 2012 и 2013 гг.

Расчеты показывают, что в реальном выражении ВВП 2013 года в 0,87(7) раза меньше, чем ВВП 2013 года. Т.е. за 2013 год по сравнению с 2012 реальный ВВП сократился на [1 – 0,87(7)]*100%=12,(3)%.

11.2. Соотношение потребительских цен и цен производителей

Расчеты показывают (п. 10), что стоимость потребительской корзины выросла на 4,3%. Средняя стоимость благ учтенных в ВВП (произведенный ВВП, хотя это не совсем верно, т.к. здесь, скорее всего, должна идти речь об Индексе цен производителей) выросла 9,8% (п.9). Т.е. в 2013 году цены производителей росли быстрее, чем цены потребительских благ.

11.3. О динамике цен в целом в экономике

Если судить о динамике цен в экономике по двум индексам: ИПЦ и дефлятору ВВП, то можно сказать, что в целом экономика характеризуется положительной инфляцией, т.е. ростом общего уровня цен. Если рассчитать индекс Фишера (см. ниже), то независимо от того, потребительские это блага или произведенные, цены на них за 2013 год выросли в среднем на 7%.

)

Всего: 120 баллов.

8