Всероссийская олимпиада школьников по экономике

2014/2015 Учебный год Задачи муниципального этапа для учащихся 9 – 11 –х классов

Задача 1 (35 баллов)

Растворимый кофе «Комильфо» выпускается в двух вариантах: с белой и желтой этикеткой. Кофе с белой этикеткой позиционируется как стандартный продукт. Годовой спрос на него описывается функцией: Q = 1100 – P. Кофе с желтой этикеткой считается элитарным продуктом. Спрос на него определяется следующим образом: если банок с желтой этикеткой будет продано в n раз меньше, чем банок с белой, то любители элитарного кофе согласны заплатить за банку с желтой этикеткой в (n + 0,25) раз больше по сравнению с ценой белой банки. Разумеется, фирма-производитель рассыпает во все банки один и тот же продукт, но об этом мало кто знает. В прошлом году фирма произвела из сырья, полученного по контракту, всего 700 банок кофе.

Сколько белых и сколько желтых этикеток должна наклеить фирма на банки, чтобы получить максимальную выручку?

Какую максимальную выручку может получить фирма?

Решение

Если Q – число банок с белой этикеткой, то – число банок с желтой. При цене банки с белой этикеткой, равной Р, цена банки с желтой будет равна (n + 0,25)P.

Общая выручка фирмы: R = PQ +  (n + 0,25) P = PQ =

= (1100 – Q) Q (1)

По условию задачи: Q + = 700. n = . Подставляя это выражение для Q в формулу (1), получаем:

R = (1100 – Q) Q  =

= (1100 – Q) (700 – Q) = (1100 – Q) (1,75Q + 175) =

= 1,75(1100 – Q) (Q + 100) = 1,75 (–Q ² + 1000Q + 110000).

Максимум выручки достигается при условии: Q = = 500. P = 1100 – Q = 600. n = = 2,5. = 200.

(n + 0,25)P = 2,75 600 = 1650.

R = PQ +  (n + 0,25) P = 600 500 + 200 1650 = 300000 + 330000 =

= 630000.

Ответ. 500 белых и 200 желтых этикеток; максимальная выручка равна 630000.

Критерии оценки

Если задача не решена полностью, но получены следующие результаты:

а) сформулировано уравнение общей выручки фирмы:

R = PQ +  (n + 0,25) P – 10 баллов;

б) школьник догадался, что выполняется равенство: Q + = 700 – 5 баллов;

в) правильно определено количество банок с белыми и желтыми этикетками (т.е. 500 белых и 200 желтых) – 30 баллов.

Если задача решена правильно любым корректным способом – 35 баллов.

Задача 2 (30 баллов)

В одном удаленном населенном пункте на некий товар предъявляют спрос две группы покупателей. Их функции спроса имеют вид: Q₁ = a₁ – P₁; Q₂ = a₂ – P₂ (a₁ > a₂). Спрос удовлетворяет единственный максимизирующий выручку продавец, которому местные власти поставили условие: товар должен продаваться по одной и той же цене обеим группам покупателей. Исходя из этого, продавец однажды привез в указанный пункт объем товара, равный Q. Известно, что при цене, максимизирующей выручку, обе группы предъявляли ненулевой объем спроса.

В этот момент местные власти изменили правила игры: теперь продавец может установить две разные цены (для одной группы – одну, для другой группы – другую), но с одним условием: это должны быть такие цены, по которым будет полностью распродан весь привезенный им объем товара (Q). Продавец установил две разные цены, в результате чего первая группа купила на 10 единиц товара меньше, чем предполагалось первоначально, а вторая группа, соответственно, на 10 единиц товара больше.

На сколько денежных единиц (и в какую сторону) отличалась реально полученная выручка от той, что предполагалось получить первоначально?