7. Метод віконних функцій

Для моделювання ЗШП використовують модель трансверсального фільтра (ТФ). Частотна характеристика та топологія ТФ зв'язані перетворенням Фур'є. Оскільки частотна та імпульсна характеристики також зв’язані перетворенням Фур'є, то топологія ТФ за законом прямої пропорційності відповідає його імпульсній характеристиці. ЗШП з постійним перекриття електродів по його довжині називається неаподизованим, зі змінним – аподизованим. Отже, щоб отримати структуру з потрібною АЧХ, треба здійснити зворотне перетворення Фур'є.

Форма АЧХ в неаподизованому ЗШП смугова, але дуже далека від прямокутної.

Аподизація – це процедура зміни перекриття електродів ЗШП ПАХ. Функція аподизації прямо пропорційна імпульсній характеристиці h(t), яка визначається оберненим перетворенням Фур'є від частотної характеристики Н(f):

Симетричній відносно осі ординат прямокутній АЧХ відповідає необмежена по осі t імпульсної характеристиці h_н(t)=sincπΔft, де індекс _Н означає необмежену імпульсну характеристику. Таким чином, функція аподизації, нормована до апертури – максимального перекриття електродів, визначається співвідношенням h_а(t)=sincπΔft.. Ця функція симетрична відносно центру ЗШП. Поточному значенню t відповідає вісь симетрії електрода ЗШП. Оскільки електроди розміщені через півперіод, то значення t визначається співвідношенням:

t_m=m/2f₀, m=0,±1,±2,...M,

де m – номер електрода, починаючи з центрального;

M=(N-1)/2, N – число електродів; f₀ – середня частота.

Зміщенню функції Н(f) відносно початку координат на частоту f₀ відповідає додатковий множник cosω₀t: h_н(t)=sincπΔft cosf₀t. У структурі аподизованого ЗШП цей множник реалізовано чергуванням полярності електродів.

Розміри ЗШП обмежують діапазон реалізації функції h_н(t), необхідної для

прямокутної АЧХ, значеннями t=±τ/2, де τ – тривалість імпульсної характеристики ЗШП τ=(N-1)/2f₀. Математично обмеження розмірів ЗШП еквівалентно множенню імпульсної характеристики h_н(t) на прямокутну функцію g(t). Імпульсна характеристика реалізована ніби у вікні, що її обмежує, і тому функція g(t) називається віконною. В частотній області функції g(t) відповідає функція G(f). Для прямокутного вікна згідно прямого перетворення Фур'є G(f) = sincπτf. Функція аподизації, яка відповідає імпульсній характеристиці ЗШП, дорівнює добутку функцій h_н(t) і g(t): h_а(t)= =h_н(t)·g(t). В частотній області добуток часових функцій еквівалентний згортці їх перетворень Фур'є. Таким чином, ЧХ аподизованого ЗШП визначається співвідношенням:

ЧХ Ha(f) має максимальний рівень пульсацій, що дорівнює 9%, на межах смуги пропускання. Цей рівень не зменшується розширенням вікна (збільшенням τ, тобто кількості електродів ЗШП), що пояснюється відсутністю збіжності апроксимації прямокутної функції H(f) в точках розриву, що відповідають межам смуги пропускання. При збільшенні зростає частота пульсацій і звужується перехідна смуга. Максимальному рівню пульсацій в смузі пропускання відповідає нерівномірність ±0,7 дБ та рівень бокових пелюсток –21 дБ. Такі параметри АЧХ неприйнятні для більшості застосувань.

Високий рівень пульсацій характеристики Ha(f) обумовлений високим рівнем бокових пелюсток функції G(f), що є перетворенням Фур'є для прямокутної віконної функції, тому для зменшення рівня пульсацій треба замінити прямокутну віконну функцію на іншу.

ЧХ аподизованого ЗШП розраховується за виразом:

де ваговий коефіцієнт h_m, що дорівнює h_m= h_a(t_m)= h_н(t_m)g(t_m); g(t_m) – задана віконна функція, t_m=m/2f₀.

Нормована АЧХ аподизованого ЗШП:

Ĥa(f)=|Ha(f)|/Ha(f₀);

у логарифмічному масштабі:

Ha(f), дБ=20lg Ĥa(f).