7.3.3 Свойства автокорреляционной функции

Свойства автокорреляционной функции для стационарного случайного процесса 𝑋 (𝑡) были указаны в главе 2, и в конце раздела 2.6, и все время в среднем теперь может быть заменено статистическими средними. Эти свойства теперь легко доказать.

Свойство 1 говорит, что | 𝑅 (τ) | ≤ 𝑅 (0) для всех τ. Чтобы показать это, рассмотрим неотрицательную величину

(7.42)

где {𝑋 (𝑡)} является стационарным случайным процессом. После возведения в квадрат и почленного усреднения, получим

(7.43)

которая сводится к

(7.44)

потому что 𝑋2 (𝑡) = 𝑋2 (𝑡 + τ) = 𝑅 (0) на стационарность {𝑋 (𝑡)}.

Свойство 2 говорит, что 𝑅 (-τ) = 𝑅 (τ). Это легко доказать, заметив, что

(7.45)

где была произведена замена переменных 𝑡'= 𝑡 + τ.

Свойство 3 гласит, что Нт | τ | → ∞ 𝑅 (τ) = 𝑋 (𝑡)2, если {𝑋 (𝑡)} не содержит периодического компонента. Чтобы показать это, заметим, что

(7.46)

где второй шаг очевиден, потому что взаимозависимость между 𝑋 (𝑡) и 𝑋 (𝑡 + τ) становится меньше, | τ | → ∞ (если не периодические компоненты отсутствуют), а последний шаг следует из стационарности {𝑋 (𝑡)}.

Свойство 4, в котором говорится, что 𝑅 (τ) является периодическим, если {𝑋 (𝑡)} является периодическим, следует отметить, что по среднему времени определяется автокорреляционная функция, вычисляется по формуле (2.161) что периодичность подынтегрального выражения определяет периодичность 𝑅 (τ).

Наконец, свойство 5, в котором говорится, что ℑ [𝑅 (τ)] неотрицательна, является прямым следствием теоремы Винера - Хинчина (7,21) и (7,25), из которого видно, что мощность спектральной плотности неотрицательна.

Пример 7.5

Процессы, для которых

(7.47)