7.3.1 Спектральная плотность мощности

Интуитивно понятно, но в некоторых случаях полезно вычислить, выражение для мощности спектральная плотность стационарного случайного процесса, оно может быть получено следующим образом. Рассмотрим конкретную функцию вида, 𝑛 (𝑡, ζ𝑖), стационарного случайного процесса. Чтобы получить функцию, дающую плотность мощности в зависимости от частоты используем преобразования Фурье, мы считаем, усеченный вариант, 𝑛𝑇 (𝑡, ζ𝑖), определяется как

(7.23)

Выборочные функции стационарных случайных процессов являются сигналами питания, преобразований Фурье для 𝑛 (𝑡, ζ𝑖) не существует, потому что оно требует определения 𝑛𝑇 (𝑡, ζ𝑖). Преобразование Фурье усечённой функции образца

(7.24)

и его спектральная плотность энергии, в соответствии с уравнением (2,90), определяется как || 𝑁𝑇 (𝑓, ζ𝑖) ||. Время средней плотности мощности на интервале [-1/2𝑇, 1/2𝑇] используется для этой функции образца || 𝑁𝑇 (𝑓, ζ𝑖) ||2 / 𝑇. Поскольку на этот раз, средняя плотность мощности зависит от конкретной функции выбранного образца, мы выполняем усреднение по ансамблю и переходим к пределу 𝑇 → ∞, для получения распределения плотности мощности с частотой. Это определяется как спектральная плотность мощности 𝑆𝑛 (𝑓), она может быть выражена как

(7.25)

Операции взятия предела и взятие среднего по ансамблю в (7.25) нельзя менять местами.

Пример 7.3

Найдем спектральную плотность мощности случайного процесса, рассмотренную в примере 7.1, используя (7.25). В этом случае,

(7.26)

По теореме о времени задержки преобразований Фурье и с использованием пары преобразований

(7.27)

мы получаем

(7.28)

Вспомним также, из главы 2 (пример 2.8), что Π (𝑡 / 𝑇) ⟷ 𝑇 sinc𝑇 𝑓, поэтому используем теорему преобразований Фурье,

(7.29)

Таким образом, энергия спектральной плотности усреднённой функции образца является

(7.30) При получении [|| 𝑁𝑇 (𝑓, Θ) ||2]. Отметим, что

(7.31)

Таким образом, мы получаем

(7.32)

и спектральная плотность мощности является

(7.33)

Тем не менее, представлением дельта-функции является lim𝑇 → ∞ 𝑇 sinc2 𝑇 𝑢 = δ (𝑢). [См рисунок 2.4 (б).] Таким образом,

(7.34)

Средняя мощность ∫ ∞ -∞ 𝑆𝑛 (𝑓) 𝑑𝑓 = ½ 𝐴2, такая же, как полученная в примере 7.1

7.3.2 Теорема Винера - Хинчина

Теорема Винера - Хинчина утверждает, что спектральной плотностью мощности стационарного в широком смысле случайного процесса является преобразование Фурье соответствующей автокорреляционной функции. Целью данного подраздела, является обеспечение формального доказательства этого утверждения.

Для упрощения обозначений в доказательстве теоремы Винера - Хинчина, перепишем (7,25) как

(7.35)

где для удобства мы отбрасываем вторые интервала 2𝑇 и опустим ζ в аргумент 𝑛2𝑇 (𝑡). Обратите внимание, что

(7.36)

произведение двух интегралов было записано в качестве повторного интеграла. Взяв ансамбль среднего и поменяв местами усреднение и интегрирование, получаем

(7.37)

Figure 7.5

согласно определению автокорреляционной функции. Произведем замену переменных 𝑢 = 𝑡 - σ и 𝑣 = 𝑡, теперь обратимся к рис 7,5. В 𝑢𝑣 плоскости мы интегрируем по 𝑣, а затем по 𝑢, разбивая интегрирование по 𝑢 на две интеграла, один для отрицательного 𝑢 и один для положительного 𝑢. таким образом,

(7.38)

Спектральная плотность мощности в силу (7.35),

(7.39)

которая является пределом 𝑇 → ∞ результат (7.21).

Пример 7.4

Поскольку спектральная плотность мощности и автокорреляционная функция Фурье-преобразование пары, автокорреляция функции случайного процесса, определена в примере 7.1, а из результата примера 7.3, дается

(7.40)

Вычисляя 𝑅𝑛 (τ), при усреднении по ансамблю, мы получим

(7.41)

что то же самое, что и результат, полученный с помощью теоремы Винера – Хинчина.