7.2.2 Описание случайных процессов при условии совместимости с форматом pdf

Полное описание случайного процесса {𝑋 (𝑡, ζ)} задается 𝑁-кратным совместной PDF, что

вероятностно описывает возможные значения, принимаемые типичной функции образца при раз

𝑡𝑁> 𝑡𝑁-1> ⋯> 𝑡1, где 𝑁 является произвольным. Для 𝑁 = 1, мы можем интерпретировать эту совместную PDF

𝑓𝑋1 (𝑥1, 𝑡1), как 𝑓𝑋1 (𝑥1, 𝑡1) 𝑑𝑥1 = 𝑃 (𝑥1 - 𝑑𝑥1 <𝑋1 ≤ 𝑥1 в момент времени 𝑡1) (7.1) где 𝑋1 = 𝑋 (𝑡1, ζ). Аналогично, для 𝑁 = 2, мы можем интерпретировать совместная плотность 𝑓𝑋1𝑋2 (𝑥1, 𝑡1; 𝑥2, 𝑡2) как 𝑓𝑋1𝑋2 (𝑥1, 𝑡1; 𝑥2, 𝑡2) 𝑑𝑥1𝑑𝑥2 = 𝑃 (𝑥1 - 𝑑𝑥1 <𝑋1 ≤ 𝑥1 в момент времени 𝑡1 и 𝑥2 - 𝑑𝑥2 <𝑋2 ≤ 𝑥2 в момент времени 𝑡2) (7.2) где 𝑋2 = 𝑋 (𝑡2, ζ).

Чтобы помочь в интерпретации (7.2), на рисунке 7.2 (б) показаны три выборочных функций, на рис 7.2 (а) накладываются барьеры, расположенные на 𝑡 = 𝑡1 и 𝑡 = 𝑡2. Согласно интерпретации относительной частоты, совместная вероятность числа образцов функции, которые проходят через прорези обоих барьеров, деленное на общее число 𝑀 образца действует как 𝑀 становится неограниченно большим и дается формулой (7.2).

7.2.3 Стационарность

Мы указали на возможную зависимость 𝑓𝑋1𝑋2 от 𝑡1 и 𝑡2, путем включения их в свой аргумент. Если {𝑋 (𝑡)}, например, это гауссовский случайный процесс, то его значение в момент времени 𝑡1 и 𝑡2 будет описываться (6,187), где 𝑚𝑋, 𝑚𝑌, σ2𝑋, σ2𝑌 и ρ, в общем, зависят от 𝑡1 и 𝑡2. Обратите внимание, что мы нуждаемся в общей 𝑁 раза PDF(н мерной функцией) для полного описания случайного процесса {𝑋 (𝑡)}. В общем, такая PDF зависит от 𝑁 мгновений времени 𝑡1, 𝑡2, ..., 𝑡𝑁. В некоторых случаях, эта совместная PDF зависит лишь от временных разниц 𝑡2 - 𝑡1, 𝑡3 - 𝑡1, ..., 𝑡𝑁 - 𝑡1; то есть, выбор времени происхождения для случайного процесса не имеет значения. Такие случайные процессы, как говорят, статистически стационарный в строгом смысле слова, или просто стационарны.

Для стационарных процессов, средние значения и дисперсии не зависят от времени , а корреляция коэффициента (или ковариация) зависит только от разности времени 𝑡2 - 𝑡1. Рисунок 7.3 контрастами выделены выборочные функции стационарных и нестационарных процессов. Может случиться, что в некоторых случаях среднее значение и дисперсия случайного процесса не зависят от времени, а ковариация зависит только от разницы во времени, но 𝑁 мерная совместная плотность зависит от времени происхождения. Такие случайные процессы называются стационарными в широком смысле процессов, чтобы отличать их от строго стационарные процессов (то есть, процессы, 𝑁 раза PDF не зависит от времени происхождения). Строгая стационарность подразумевает стационарность в широком смысле, но обратное не всегда верно. Исключение возникает для гауссовских случайных процессов, для которых в широком смысле стационарность подразумевает стационарность в строгом смысле, так как совместное гаусова PDF полностью задается Средствами, дисперсиями и ковариациями 𝑋 (𝑡1), 𝑋 (𝑡2), ..., 𝑋 (𝑡𝑁).

Рисунок 7.3

7.2.4 Частичное описания случайных процессов: Эргодичность

Как и в случае случайных величин, мы не всегда требуем полного статистического описания случайного процесса, или мы, возможно, не можем получить 𝑁 мерную совместная плотность даже при желании. В таких случаях, мы работаем с различными моментами по выбору, либо по необходимости. Наиболее важные средние значения,

(7.3)

дисперсия,

(7.4)

и ковариация,

(7.5)

Введем в (7.5) обозначения t= 𝑡1 и 𝑡 + τ = 𝑡2. Первое слагаемое в правой части является автокорреляционной функцией, вычисляется как статистическая или ансамбль, в среднем (то есть, в среднем составляется по выборочным функциям в моменты 𝑡 и 𝑡 + τ). С точки зрения совместная плотность случайного процесса, автокорреляционная функция

(7.6)

где 𝑋1 = 𝑋 (𝑡1) и 𝑋2 = 𝑋 (𝑡2). Если процесс стационарный в широком смысле, 𝑓𝑋1𝑋2 не зависит от 𝑡, а разница во времени обозначена: τ = 𝑡2 - 𝑡1 и, как следствие, 𝑅𝑋 (𝑡1, 𝑡2) = 𝑅𝑋 (τ) является функцией только τ. Очень важным является вопрос: '' Если автокорреляционная функция использования определена средним временем, как указано в главе 2, будет ли результат такой же, как дает формула среднестатистического (7.6)? '' для многих процессов, называемых эргодическими, ответ утвердительный. Эргодические процессы – это процессы, для которых время и ансамбль среднего значения взаимозаменяемы. Таким образом, если 𝑋 (𝑡) эргодический процесс, все время и соответствующий ансамбль среднего являются взаимозаменяемыми. В частности,

(7.7)

(7.8)

и

(7.9)

где

(7.10)

как это определено в главе 2. Мы подчеркиваем, что для эргодических процессов все время и ансамбль среднего являются взаимозаменяемыми, а не только среднее значение, дисперсия и Автокорреляционная функция.

Пример 7.1

Рассмотрим случайный процесс у выборочных функций

𝑛(𝑡) = 𝐴 cos(2𝜋𝑓0𝑡 + Θ)

где 𝑓0 является постоянным, Θ является случайной величиной с PDF

(7.11)

Вычисляется как статистических средние, первый и второй моменты

(7.12)

И

(7.13)

соответственно. Дисперсия равна второму моменту, так как длина равна нулю.

Вычисляется как средние время, первый и второй моменты

(7.14)

И

(7.15)

соответственно. В общем, время в среднем некоторой функции ансамбля член случайного процесса является случайной величиной. В этом примере, ⟨𝑛 (𝑡)⟩ и ⟨𝑛2 (𝑡)⟩ Постоянны! Мы подозреваем, что этот случайный процесс является стационарным и эргодическим, хотя предыдущие результаты не доказывают это. Оказывается, что это действительно так.

Продолжая пример, рассмотрим PDF

(7.16)

В этом случае, ожидаемое значение, или среднее, случайного процесса вычисляется в произвольный момент времени 𝑡.

(7.17)

Второй момент, вычисляется как статистическое среднее, это

(7.18)

Поскольку из стационарности случайного процесса следует, что все моменты не зависят от начала отсчета времени, результаты показывают, что этот процесс не является стационарным. Для того, чтобы понять физическую причину этого, вы должны нарисовать некоторые типичные функции образца. Кроме того, этот процесс не может быть эргодическим, поскольку эргодичность требует стационарности. Действительно, среднее по времени первый и второй моменты по-прежнему ⟨𝑛 (𝑡)⟩ = 0 и ⟨𝑛2 (𝑡)⟩ = 1, соответственно. Таким образом, мы обнаружили два временных средних, которые не равны соответствующим статистическим средним.