Математичний опис та оцінювання випадкових похибок

Найповніше випадкова похибка як випадкова величина може бути описана з допомогою закону розподілу. В термінах теорії ймовірності випадкова похибка — це відхилення похибки вимірювання від її математичного сподівання:

.

Тут   — випадкова похибка вимірювання,   — похибка вимірювання,   — математичне сподівання похибки.

Таким чином, випадкова похибка є центрованою випадковою величиною — її математичне сподівання рівне нулю.

Встановлення закону розподілу випадкової похибки вимагає значних затрат часу та ресурсів, тому на практиці часто замість встановлення закону розподілу оцінюють певні її характеристики — середнє квадратичне відхилення (точкова характеристика) або довірчі границі (інтервальна характеристика). Вказані характеристики можуть бути оцінені за менших затрат в порівнянні із затратами на встановлення закону розподілу.

Статистично середнє квадратичне відхилення випадкової похибки   результату вимірювання   може бути наближено оцінено за результатами повторних вимірювань  , одержаними в умовах збіжності, як

,

де   — середнє значення результатів повторних вимірювань.

В даній формулі величина   фактично є оцінкою випадкової похибки   результату  -го вимірювання.

Середнє квадратичне відхилення використовується не лише як характеристика похибки, але і як проміжний параметр під час розрахунку довірчих границь випадкової похибки. Якщо випадкова похибка розподілена за нормальним законом розподілу, то довірчі границі похибки   для довірчої ймовірності   можуть бути оцінені за формулою

,

де   — відповідний квантіль нормального розподілу,   — надійна нестатистична оцінка середнього квадратичного відхилення випадкової похибки.

Квантіль нормального розподілу рівний 1,96 для  =0,95 та 2,57 для  =0,99.

Якщо замість середнього квадратичного відхилення випадкової похибки використовується його статистична оцінка  , розрахована за числом результатів повторних вимірювань менше 30, то за нормального розподілу довірчі границі випадкової похибки оцінюють за формулою

,

де   — значення коефіцієнту Ст'юдента для довірчої ймовірності   та числа ступенів свободи  .

Випадкова похибка середнього арифметичного

Як уже зазначалося, усереднення результатів повторних вимірювань дозволяє зменшити випадкову похибку. Зв'язок середнього квадратичного відхилення випадкової похибки середнього арифметичного   з середнім квадратичним відхиленням випадкової похибки результату одиничного вимірювання   дається залежністю

,

де   -число результатів повторних вимірювань, для яких розраховувалося середнє значення.

Таким чином, випадкова похибка середнього арифметичного в   раз менша від випадкової похибки результату одиничного вимірювання. Наприклад, якщо випадкову похибку необхідно зменшити в 2 рази, то число результатів повторних вимірювань, за якими буде розраховано середнє значення, необхідно збільшити в 4 рази.

Розрахунок довірчих границь випадкової похибки середнього арифметичного проводиться за вказаними вище для випадкової похибки результату одиничного вимірювання формулами з відповідною заміною середнього квадратичного відхилення. Причому, дані формули для середнього арифметичного справедливі навіть в тому випадку, коли результати одиничних вимірювань не розподілені за нормальним законом. Це обумовлено тим, що відповідно до центральної граничної теоремитеорії ймовірності незалежно від розподілу результатів одиничних вимірювань середнє арифметичне буде розподілене приблизно за нормальним законом. Розподіл середнього арифметичного тим ближчий до нормального, чим більша кількість результатів використовується під час розрахунку середнього значення.

Отже, збільшення числа повторних вимірювань в умовах збіжності та наступна їхня спільна математична обробка (усереднення) дозволяє зменшити випадкову похибку до як завгодно малого значення. Однак, насправді, зменшувати випадкову похибку є сенс лише в тому випадку, якщо вона в сумі з систематичною перевищує допустиму величину. По-друге, навіть коли сумарна похибка перевищує прийнятне значення або необхідно досягти максимально можливої точності, немає сенсу зменшувати випадкову похибку, якщо вона неістотна в порівнянні з систематичною. Неістотною вважається випадкова похибка, яка в три чи більше разів менша від систематичної. В такому разі зменшення випадкової похибки вже не буде впливати на точність результату вимірювання, оскільки домінувати буде систематична похибка.