2. Коефіцієнт готовності
Розглянуті в попередніх розділах показники називаються одиничними, тому що вони дозволяють кількісно оцінювати тільки окремі приватні властивості надійності (безвідмовності, ремонтопридатності, довговічності або збережуваності). На практиці необхідно оцінювати й порівнювати між собою об'єкти за декількома властивостями одночасно. Для цих цілей вводять комплексні показники надійності. У цей час широко використаються комплексні показники, що враховують тільки дві частки властивості надійності - безвідмовність і ремонтопридатність. Розглянемо чотири таких показники: коефіцієнт готовності, коефіцієнт технічного використання, коефіцієнт оперативної готовності й коефіцієнт збереження ефективності.
Коефіцієнт готовності (ДСТУ 2860-94) - це ймовірність того, що об'єкт виявиться в працездатному стані в довільний момент часу, крім запланованих періодів, протягом яких використання об'єкта за призначенню не передбачено.
Відповідно до цього визначення в кожен довільний момент часу, коли об'єкт повинен застосуються за призначенням, він може перебувати в одному із двох станів: працездатному або непрацездатному.
Позначимо
і
відповідно працездатний і непрацездатний
стан об'єкта, а
і
– імовірності перебування об'єкта
відповідно в працездатному й непрацездатному
станах. Імовірності
й
пов'язані наступним співвідношенням:
.
(2.35)
Очевидно, що ймовірність – це, відповідно до визначення, коефіцієнт готовності об'єкта (цю ймовірність називають нестаціонарним коефіцієнтом готовності, оскільки вона залежить від часу t).
Знайдемо
аналітичне вираження для ймовірності
:
виявити об'єкт працездатним у довільний
момент часу
при наступних вихідних передумовах.
Нехай процес функціонування об'єкта в
часі являє собою послідовність
взаємонезалежних інтервалів, що
чергуються між собою:
-
наробіток між відмовами
й часом відновлення (рис. 2.5). Нехай
інтервали часу
розподілені за експонентним законом з
параметром
,
а інтервали
теж розподілені однаково за експонентним
законом з параметрами
,
тобто
.
Для знаходження ймовірності будуємо графік станів і переходів об'єкта (див. рис. 2.5), запишемо диференціальне рівняння й вирішуємо його щодо шуканої ймовірності при заданих початкових умовах.
Очевидно,
що перехід із працездатного стану
в непрацездатний
відбувається з інтенсивністю
,
а перехід зі стану
в
‑
з інтенсивністю
.
Диференціальні
рівняння для ймовірностей
вирішуються за наступним простим
мнемонічним правилом [11]: у лівій частині
рівняння записують похідну
,
а права частина являє собою алгебраїчну
суму декількох складових, число яких
дорівнює числу всіх дуг на графі,
пов'язаних з
-м
станом. Кожен доданок пов'язаний із
вхідною або вихідною дугою й дорівнює
добутку ймовірності того стану, з якого
спрямована дуга, на інтенсивність
переходу по цій дузі. Якщо дуга спрямована
в
-ий
стан, то доданок береться зі знаком
"плюс", якщо з
-го
стану, то - зі знаком "мінус".
Користуючись цим правилом, запишемо для розглянутого об'єкта наступне диференціальне рівняння першого порядку з постійними коефіцієнтами:
.
У
співвідношенні (2.35) підставимо замість
вираз
.
У
результаті одержимо:
.
(2.36)
Розв’язуючи це диференціальне рівняння відомими методами, знаходимо [12]:
,
(2.37)
де c ‑ постійна, значення якої визначається початковими умовами інтегрування рівняння (2.36).
Якщо
в початковий момент часу
об'єкт працездатний, то, очевидно, що
.
Підставляючи це значення у формулу
(2.37), знаходимо
і
формула для ймовірності
матиме вигляд
.
Якщо
в цьому виразі
й
подати через
й
,
то його можна записати в такий спосіб:
,
(2.38)
де
‑ показник, що називають нормою
відновлення.
Якщо
при
об'єкт непрацездатний, то аналогічно
знаходимо
і
.
Отже,
отримане аналітичне вираження для
ймовірності
(нестаціонарного коефіцієнта готовності)
для двох початкових умов: 1) при
об'єкт працездатний; формула (2.38), 2) при
об'єкт непрацездатний; формула (2.39).
Залежність
імовірності
від часу t
при різних значеннях норми відновлення
наведена на рис. 2.17.
Рис.2.17
Із графіків, зображених на рисунку, а також з виразу (2.38) видно, що
(2.40)
Це означає, що існує стале значення ймовірності , що не залежить від часу. Отже, імовірність застати об'єкт працездатним у довільний момент часу в сталому режимі експлуатації (тобто, через деякий час після моменту, коли ) відповідає постійній величині, що називають стаціонарним коефіцієнтом готовності.
Вираз (2.40) добре відбиває фізичну сутність коефіцієнта готовності як відносну частку часу, протягом якого об'єкт перебуває в працездатному стані.
Статистичну оцінку коефіцієнта готовності можна знайти за формулою:
,
(2.41)
або
,
(2.42)
де
‑ статистична оцінка норми відновлення;
‑ сумарний
наробіток за розглянутий календарний
період часу;
‑ сумарний
час відновлення об'єкта за той же
календарний період.
Для
угруповання об'єктів РЕТ показники
й
характеризують відповідно частку
працездатних об'єктів у момент часу t
і середню частку працездатних об'єктів
із загального числа об'єктів
,
тобто
,
(2.43)
де
й
‑ відповідно число працездатних
об'єктів у момент часу
і число працездатних об'єктів у сталому
режимі експлуатації (при
).