Випадкова похибка опосередковано вимірюваної величини

Випадкова похибка опосередковано вимірюваної величини  ,значення якої знаходять за відомою залежністю через інші величини як  , може бути оцінена за значеннями випадкових похибок цих інших (вхідних) величин. Середнє квадратичне відхилення випадкової похибки   результату вимірювання  можна знайти за формулою

де   — часткова похідна по змінній  ,   — середнє квадратичне відхилення випадкової похибки  -ої вхідної величини.

Вказана формула показує, як випадкові похибки вхідних величин вводяться у похибку величини, що залежить від них, тому її часто називають законом поширення випадкових похибок.

Довірчі границі випадкової похибки опосередковано вимірюваної величини розраховують через середнє квадратичне відхилення її випадкової похибки за формулами, аналогічними до формул для прямих вимірювань.

28. Опрацювання результатів вимірювань для одного ряду?

Математична обробка ряду рівноточних вимірів однієї величини

Під час обробки ряду результатів рівноточних вимірів однієї величини

необхідно:

1) визначити найнадійніше, або найімовірніше значення вимірюваної

величини;

2) знайти середню квадратичну похибку m одного виміру, яка

характеризує точність вимірів за даними умовами;

3) визначити середню квадратичну похибку остаточного значення,

одержаного в результаті обробки.

За найнадійніше, або найімовірніше значення вимірюваної величини,

яке можна одержати з результатів скінченного числа рівноточних вимірів

цієї величини, застосовують середнє арифметичне, що обчислюють за

формулою:

L0 = [ l]/ n .

(1)

Математичні властивості середнього арифметичного:

1) якщо L

де

0 – li = υ i ,

і=1, 2, …., n. υi – відхилення даних величин від

їх середнього арифметичного.

[υ] = 0 . (2)

2) сума [υυ] квадратів відхилень даного ряду величин l i i=1,2,…, n від

їх середнього арифметичного Lo завжди буде менша від суми [δδ] квадратів

відхилень цих величин від будь-якого довільного числа L´

[δδ]>[υυ] . (3)

Але ще краще, особливо для великої кількості вимірів n, знаходити

його за допомогою наближеного заокругленого значення l0 і відхилень

εі = li – l0 за формулою:

L0 = l0 + [εі]/ n, (4) де εі – відхилення виміряних значень від наближеного (як правило, за

наближене значення l0 приймають мінімальне значення з результатів

вимірів). 4

Якщо відомі відхилення ε то i,

відхилення виміряних значень від

середнього арифметичного можна обчислити за формулою:

δi = εi – [ε]/ n . (5)

Середня квадратична похибка m одного виміру визначається за

формулою Бесселя

m = ±√([δ²]/( n-1)) (6)

з контролем обчислення за формулою Петерса

m = ± 1,253[|δ|]/√(2(n-1)) . (7)

Після обчислення середньої квадратичної похибки m виконують її

власну оцінку точності за формулою:

m m = ± m/(2 n)-1. (8)

Для контролю обчислень використовуються формули:

[δ] = nα , (9) де α – помилка заокруглення для обчислення середнього арифметичного L0.

[δδ] = [δε] , (10)

[δ²] = [ε²] – [ε]²/ n . (11) Середня квадратична похибка M середнього арифметичного

визначається за формулою:

M = ±√([δ²]/ n( n-1)) = ± m/√ n . (12)

Кінцевий результат обробки ряду рівноточних вимірів подається у

вигляді Lo ± M.

29. Опрацювання результатів вимірювань для двох рядів?

Оцінка точності результатів подвійних рівноточних вимірів

однорідних величин.

У геодезичному виробництві часто доводиться проводити подвійні

виміри однорідних величин: кутів, довжин ліній, перевищень між пікетами

тощо. Вимірюючи будь-яку величину два рази, за найімовірніше її значення

приймають середнє арифметичне, і середня квадратична похибка його М

буде в 2 разів менша від похибки m одного виміру. Але така оцінка

точності не є надійною, тому що вона виведена тільки з двох вимірів. Крім

того, точність кожного середнього арифметичного буде характеризуватись

своєю похибкою М і кожна з них не може бути прийнята за величину для

оцінки точності всіх результатів подвійних вимірів однорідних величин

загалом. Через це точність подвійних вимірів оцінюють так.

Нехай маємо результати рівноточних подвійних вимірів однорідних

величин І ´і,І ´´і (i= 1,2,…, n).

Знайдемо їх різниці

d i = І ´і - І ´´і .(13)

Методика оцінювання точності залежить від наявності чи відсутності в

різницях подвійних вимірів систематичних похибок.

За відсутності систематичних похибок виконується умова [ d] = 0

|[ d]|≤0,25[| d|]

Тоді d є істинними похибками, тому середня квадратична похибка однієї

різниці:

m d=±√[ d²]/ n , (14)

де n – кількість подвійних вимірів.

Середня квадратична похибка одного виміру:

m=±√[ d²]/2 n . (15)

Середня квадратична похибка середнього значення з пари вимірів:

mсер=± √[ d²]/ n . (16)

У разі систематичних похибок [ d] ≠ 0 |[ d]|>0,25[| d|].

Тоді для виключення систематичних похибок припускаємо, що значення їх у

всіх різницях однакові та дорівнюють:

do = [ d] /n ; (17)

∆ di = di – do , (18)

де ∆ di – можна вважати за найімовірніші похибки.

Середня квадратична похибка однієї різниці:

m √d = ± ([∆ d²]/( n -1)) . (19)

Середня квадратична похибка одного виміру:

m√= ± ([∆ d²]/2( n -1)) . (20)

Середня квадратична похибка середнього значення з пари вимірів:

1

mсер =± √([∆ d²]/( n -1)) (21)

Опис методики виконання лабораторної роботи, математична обробка

отриманих даних.

30. Етапи розрахунку СКП для істинної похибки?

Похибка вимірювання  (англ. error of a measurement) — відхилення результату вимірювання від істинного значення вимірюваної фізичної величини^[1]:

Тут   - результат вимірювання величини  ;   - її істинне значення.

В ряді джерел, наприклад у ВРЕ, наряду з терміном похибка вимірювання вживається термін помилка вимірювання. Оскільки термін помилка вимірювання є невдалим, він не рекомендується до вживання.

Похибка вимірювання є кількісною характеристикою точності вимірювання.

На практиці істинне значення величини невідоме, тому неможливо точно визначити і величину відхилення результату вимірювання від нього. Тому на практиці доводиться користуватися не похибками, а їх оцінками або характеристиками. Оцінку похибки (приблизне значення) можна знайти за формулою

де   - дійсне значення вимірюваної фізичної величини, тобто її значення, знайдене експериментально і настільки близьке до істинного, що може бути використане замість нього. Фактично за таке значення приймають значення міри фізичної величини, еталона або визначене за допомогою точнішої методики.

Наприклад, результат зважування деякого тіла на вагах становив 1 кг. Для визначення похибки зважування була використана еталонна гиря, номінальної маси 1 кг. Її дійсна маса, встановлена під час її перевірки і вказана в свідоцтві про повірку, рівна 1,00003 кг. При зважуванні вказаної гирі на цих же вагах, за тим же методом і за тих же умов, що і тіла, одержали значення 0,99998 кг. Тоді оцінка похибки зважування еталонної гирі   (0,99998 -1,00003) кг=-0,00005 кг. Оскільки результат зважування тіла близький до результату зважування гирі, це розраховане значення похибки можна прийняти за оцінку похибки результату зважування тіла.