Исходные данные и компромиссы

При проектировании нерекурсивных фильтров используются те же параметры, что и для аналоговых – максимальные пульсации в полосе пропускания, максимальное ослабление в полосе фильтрации и т.д. Могут потребоваться следующие параметры:

N – число ключей (узлов) фильтра, совпадающее с числом коэффициентов;

fp – частота среза полосы пропускания

fs – частота среза полосы задержания

K= ( δ1/δ2) – отношение пульсаций полосы пропускания к пульсаиям полосы задержания.

Рис. 3 иллюстрирует эти параметры для ФНЧ, ФВЧ и полосового. При проектировании обычно учитывают пульсации полосы пропускания в dB как 20log(1+ δ1), а пульсации полосы задержания как -20log(1+ δ2). Обычно пульсации полосы пропускания берут в пределах 0,001…1 dB, а пульсации полосы задержания -10…-90 dB.

Частоты fp и fs – нормализованы по отношению к частоте дискретизации. Если, например, фильтр проектируется на частоту выборок 100 kHz, частоту среза пропускания fp=10kHz и частоту среза задержания fs=20 kHz, тогда

fp (нормализованная)=10kHz/100kHz=0,1

fs (нормализованная)=20kHz/100kHz=0,2.

Обратите внимание, что оси графиков для нормализованных частот занимают диапазон от 0 до 0,5. Это связано с критерием Найквиста (теорема Котельникова) об удвоенной частоте квантования, чтобы исключить возможность неоднозначности.

Как обычно, при задании параметров приходится идти на компромиссы. При заданном числе узлов крутизна срезов приводит к увеличению пульсаций. Для одновременного повышения крутизны и уменьшения пульсаций потребуется вводить дополнительные узлы, усложняя тем самым фильтр.

Рис.3. Параметры проектирования для ФНЧ, ФВЧ и полосового фильтра.

Проектирование ких фильтров методом окна

Прежде чем проектировать циыровой фильтр, необходимо рассчитать коэффициенты фильтра, h(m), чтобы применить уравнение 2. Существует два основных метода проектирования – метод «окон» и алгоритм Remez Exchange. В 95% случаев второй метод позволяет получить значительно лучшие фильтры. Алгоритм обмена Ремеза был реализован на Фортране; доступна версия от Analog Devices.

Метод окна, тем не менее, полезен ввиду своей простоты и пригоден для освоения цифровой фильтрации. Необходимо учитывать, однако, что спроектированные по этому методу фильтры уступают фильтрам, спроектированным альтернативными методами (см. Ref.7).

Рассмотрим КИХ фильтр нижних частот с ослаблением в полосе задержания более 50 dB, нормализованной частотой среза в полосе пропускания (fp) 0.2 и нормализованной частотой среза в полосе задержания 0.3. На рисунке 4 изображена идеальная передаточная функция фильтрации H(f). Путем обратного преобразования Фурье в соответствии с уравнением 3 можно получить требуемые коэффициенты.

На рис.5 показан результирующий набор h(n), который расширен до +/- бесконечности. Далее необходимо умножить коэффициенты Фурье на одно из нескольких окон, или весовых функций, как показано на рис. 5b и 5с.

Рис. 5. По методу окон, коэффициенты Фурье фильтра (a) умножаются на весовую функцию (b) с результатом (с).

Весовая функция равна 0 выше и ниже некоторого значения ___, которое зависит от порядка фильтра N. Умножение коэффициентов Фурье на весовую функцию определяет приближенный конечный импульсный отклик для желаемой передаточной функции H(f). Это гарантирует сходимость ряда Фурье (Fourier series).

Хотя пригодны несколько различных весовых функций, на рис.5 использовано широко применяемое окно Хэмминга. Альтернативно используются окна Кайзера, Блэкмена и Ханнинга (см. Ref.1). После выбора соответствующего окна можно определить число коэффициентов или число узлов фильтра N исходя из желаемой полосы df=fs-fp.

Для окна Хэмминга полоса соотносится с числом узлов N фильтра в соответствии с аппроксимацией

Для расчетного примера получим:

Таким образом N=40/0.1=40. Обычно эта аппроксимация избыточна на 2...5 единиц, поэтому примем N=36.

Далее, получаем коэффициенты фильтра h(n) по рис.5с умножением каждого h(n) на соответствующий вес w(n) по рис. 5b. Так как коэффициенты симметричны относительно 0, можно ограничиться их абсолютными значениями (т.е. половиной). Коэффициенты описывают оконную функцию вида (sin x)/x, что есть преобразование Фурье фильтра нижних частот на рис.4.