7. Случайные сигналы и шумы

Математическая подготовка рассматриваемая в главе 6 обеспечивает базовые знания по теории вероятностей, необходимые для разработки статистического описания случайных сигналов. Важно рассмотрение сигналов указанных в главе 1 - шум в системах связи, возникающий из-за хаотичного движение носителей заряда в проводящих материалах или из-за других нежелательные источников шума.

В относительных частот подхода к вероятности, мы думали повторять, лежащая в основе шанс экспериментировать много раз, подразумевается, что процесс репликации был проведен последовательно во времени. При изучении случайных сигналов, однако, результаты, полученные на основе независимых экспериментов, отображаются в виде функции времени или сигналов, а не численных значений, как в случае случайных величин. Конкретную форму сигнала нельзя предсказать до проведения эксперимента, так же как конкретное значение случайной величины нельзя предсказать до проведения эксперимента. Обратимся теперь к статистическому описанию случайных экспериментов, в результате которых получаем формы выходных сигналов. Для наглядности, это может быть сделано, с позиции относительной частоты.

7.1 Относительные частоты в описании случайных процессов

Для простоты рассмотрим генератор бинарного цифрового сигнала, выход которого случайно переключается между положениями 1 и -1 с 𝑇0-секундными интервалами, как показано на рисунке 7.1. Пусть 𝑋 (𝑡, ζ𝑖) случайный сигнал, соответствующий выходу генератора 𝑖th.

Пусть относительная частота используется для оценки 𝑃 (𝑋 = +1) посредствам анализа результатов всех генераторов на определенный момент времени. Так как выходы являются функциями времени, мы должны указать время, когда записывается относительная частота. Следующая таблица может быть построена из данных генератора полученных на выходах в каждой промежуток времени. Показано на рисунке:

Таблица

Из этой таблицы видно, что относительные частоты изменяются с интервалом времени.

Рисунок 7.1

Хотя это изменение относительной частоты может быть результатом статистической неоднородности высока вероятность того, что некоторые явления 𝑋 = 1 становятся более вероятны, с увеличением времени. Чтобы уменьшить вероятность того, что статистическая неравномерность является виновником отклонений мы могли бы повторить эксперимент с 100 или 1000 генераторов. Это, очевидно, мысленный эксперимент, потому что было бы очень трудно получить набор идентичных генераторов и подготовить их в идентичных модах.

7.2 Некоторая терминология случайных процессов

7.2.1 Примеры Функций и ансамблей

Таким же образом, как это показано на рисунке 7.1, мы могли бы себе представить, использование любой возможности экспериментировать много раз одновременно. Если, например, случайная величина представлена как напряжение на клеммах генератора шума, случайная величина 𝑋1 может быть назначена для представления всевозможных значений этого напряжения в момент времени 𝑡1 и случайная величина 𝑋2 для значений в момент времени 𝑡2. Как и в случае с генератором цифрового сигнала, можно представить себе много генераторов шума построеных идентичным образом, поскольку мы можем сделать их, и считать, что они работают при идентичных условиях. На рисунке 7.2 (а) показаны типичные формы сигналов, генерируемых в таких экспериментах. Каждый сигнал 𝑋(𝑡, ζ𝑖) называется примером функции, где ζ𝑖 является членом из выборочного пространства S. Совокупность всех образцов функций называется ансамблем. Лежащий в основе эксперимент, приводящий к ансамблю выборочных функций, называется случайным или стохастическим процессом. Таким образом, для каждого результата ζ мы назначаем, в соответствии с определенным правилом, временную функцию 𝑋 (𝑡, ζ). Для конкретного ζ, скажем ζ𝑖, 𝑋 (𝑡, ζ𝑖) означает одну функцию времени. Для конкретных значений времени 𝑡𝑗, 𝑋 (𝑡𝑗, ζ) обозначает случайную величину. При фиксированном 𝑡 = 𝑡𝑗 и фиксированной ζ = ζ𝑖, 𝑋 (𝑡𝑗, ζ𝑖) является числом. В дальнейшем мы будем часто игнорировать ζ.

Подводя итог, различие между случайной величиной и случайным процессом является то, что длят случайной величины, исход в выборочном пространстве отображается в численном значении, а для случайного процесса отображается в функции зависимой от времени.

Рисунок 7.2