27

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ) ФГБОУ ВПО «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МАШИНОСТРОЕНИЯ (МАМИ)»

Кафедра автоматизации производства и информационных технологий

КОНТРОЛЬНая РАБОТа по дисциплине «Информатика»

Методические указания к контрольной работе по дисциплине «Информатика»:

Составили: д-р техн. наук, профессор Белов В.В. канд. техн. наук, доцент Чистякова В.И.

Коломна 2013

СОДЕРЖАНИЕ

1. Системы счисления Методические указания

Система счисления – это совокупность приёмов и правил представления чисел посредством числовых символов (цифр).

Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.

В непозиционных системах вес цифры (вклад в значение числа) не зависит от её позиции в числе. Например, в римской системе в числе ХХI (двадцать один) вес цифры Х в любой позиции равен десяти.

В позиционных системах вес цифры определяется её позицией в числе. Например, в десятичном числе 525,5 первая пятёрка означает 5 сотен, вторая – 5 единиц, третья – 5 десятых долей единицы. Запись числа 525,5 есть сокращённая запись суммы

.

Основание позиционной системы счисления – это количество цифр, используемых для представления чисел в этой системе.

В системе счисления с основанием р любое число

может быть представлено в виде суммы

, (1)

где – цифры i-х разрядов числа;

i – номера разрядов в числе, i = –m, –m+1, … –1, 0, 1, 2, …, n–1, n;

р – основание системы счисления.

Разряды в числе нумеруются как 0, 1, 2, … справа налево от запятой в целой части и как –1, –2, … слева направо от запятой, отделяющей целую часть от дробной, например:

Номера разрядов 3210–1 –2 –3

1520,041

Двоичная система счисления. Основание системы счисления равно 2. Для записи чисел используются две цифры 0 и 1. Двоичная система счисления используется для представления информации в памяти компьютера по следующим причинам: 1) простота реализации и надёжность работы устройств, имеющих два устойчивых состояния; 2) простота двоичной арифметики; 3) возможность использования одних и тех же устройств для реализации арифметических и логических операций, связанная со схожестью правил булевой алгебры и двоичной арифметики.

Правила выполнения арифметических операций в двоичной системе счисления:

Сложение		Умножение		Вычитание
0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 10		0  0 = 0 0  1 = 0 1  0 = 0 1  1 = 1		0 – 0 = 0 1 – 0 = 1 1 – 1 = 0 10 – 1 = 1

Пример 1. Выполнение арифметических операций в двоичной системе счисления:

			. 2 . 2		101,101
+	101,1010	–	10111,1010		11
	1100,1011		1100,1001	+	101101
	10010,0101		1011,0001		101101
Переносы	11 11 1				1000,0111
				Переносы	1111

При вычитании двоичных чисел используется известный в десятичной системе счисления приём занимания 1 из ближайшего слева (старшего) не равного нулю разряда (заём 1 из какой-либо цифры отмечается точкой над этой цифрой). Причём, если в десятичной системе счисления над цифрой разряда, для которого выполнялся заём, записывается число 10, то для двоичной системы счисления – число 2 (в общем случае – основание системы счисления, в которой выполняется вычитание). Это определяется свойством: основание системы счисления показывает, во сколько раз вес текущего разряда больше веса предыдущего разряда (с меньшим номером).

Восьмеричная система счисления. Основание системы счисления равно 8. Для записи чисел используются восемь цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Прибавление единицы к старшей цифре 7 даёт первое двузначное число 10, т. е. 7₈ + 1₈ = 10₈.

Пример 2. Выполнение арифметических операций в восьмеричной системе счисления:

			. 8 . 8
+	125,71	–	572,75
	16,24		124,56
	144,15		446,17
Переносы	11

При сложении восьмеричных чисел в каждом разряде складываются две цифры, и если их сумма меньше восьми, то результат записывается в соответствующий разряд суммы. Если сумма цифр больше восьми, то из неё вычитается восемь, разность записывается в текущий разряд суммы, а единица переноса прибавляется к соседнему старшему разряду суммы.

При вычитании восьмеричных чисел используется приём занимания 1 из ближайшего слева не равного нулю разряда. Над цифрой разряда, для которого выполнялся заём, записывается число 8.

Шестнадцатеричная система счисления. Основание системы счисления равно 16. Для записи чисел используются шестнадцать цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, Е, F. Прибавление единицы к старшей цифре F даёт первое двузначное число 10, т. е. F₁₆ + 1₁₆ = 10₁₆.

Пример 3. Сложение и вычитание в шестнадцатеричной системе счисления:

			.16 .16
+	1А5,В1	–	5F1,C5
	1С,24		124,56
	1C1,D5		4CD,6F
Переносы	1

При сложении шестнадцатеричных чисел в каждом разряде складываются две цифры, и если их сумма меньше шестнадцати, то результат записывается в соответствующий разряд суммы. Если сумма цифр больше шестнадцати, то из неё вычитается шестнадцать, разность записывается в текущий разряд суммы, а единица переноса прибавляется к соседнему старшему разряду суммы.

При вычитании шестнадцатеричных чисел используется тот же приём занимания 1 из ближайшего слева (старшего) не равного нулю разряда. Над цифрой разряда, для которого выполнялся заём, записывается число 16.

Запись чисел в системах счисления с основаниями 10, 2, 8, 16

10	2	8	16	10	2	8	16	10	2	8	16
0	0	0	0	11	1011	13	B	22	10110	26	16
1	1	1	1	12	1100	14	C	23	10111	27	17
2	10	2	2	13	1101	15	D	24	11000	30	18
3	11	3	3	14	1110	16	E	25	11001	31	19
4	100	4	4	15	1111	17	F	26	11010	32	1A
5	101	5	5	16	10000	20	10	27	11011	33	1B
6	110	6	6	17	10001	21	11	28	11100	34	1C
7	111	7	7	18	10010	22	12	29	11101	35	1D
8	1000	10	8	19	10011	23	13	30	11110	36	1E
9	1001	11	9	20	10100	24	14	31	11111	37	1F
10	1010	12	A	21	10101	25	15	32	100000	40	20

Перевод из десятичной системы счисления в систему счисления с основанием р.

1. Перевод целых чисел. Исходное десятичное число делится на основание той системы счисления, в которую переводим (р), нацело с записью целого частного и остатка от деления. Каждое полученное целое частное вновь делится на р до тех пор, пока частное от деления не станет равным нулю. Остатки от деления, записанные в порядке, обратном их получению, представляют искомое р-ичное число.

2. Перевод дробных чисел. Цифры десятичной дроби умножаются на основание той системы счисления, в которую переводим (р), с раздельной записью целой и дробной частей произведения. Дробные части произведений вновь умножаются на р по тому же правилу до тех пор, пока дробная часть очередного произведения не станет равной 0, либо пока не будет вычислено заданное количество дробных р-ичных цифр. Целые части произведений, записанные в порядке их получения, представляют цифры искомой р-ичной дроби.

Пример 4. Перевод чисел из десятичной системы счисления в двоичную:

Перевод числа 11			Перевод числа 0,7 с точностью до четырёх дробных цифр
Частные	Остатки		Целые части	Дробные части
от деления на 2			от умножения дробных частей на 2
11			0,	7
5	1 		 1	4
2	1 		 0	8
1	0 		 1	6
0	1 		 1	2
Получаем:			Получаем:

Пример 5. Перевод чисел из десятичной системы счисления в восьмеричную:

Перевод числа 41			Перевод числа 0,4 с точностью до двух дробных цифр
Частные	Остатки		Целые части	Дробные части
от деления на 8			от умножения дробных частей на 8
41			0,	4
5	1 		 3	2
0	5 		 1	6
Получаем:			Получаем:

Пример 6. Перевод чисел из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную:

Перевод числа 75			Перевод числа 0,9 с точностью до двух дробных цифр
Частные	Остатки		Целые части	Дробные части
от деления на 16			от умножения дробных частей на 16
75			0,	9
4	11 = В 		 Е  14	4
0	4 		 6	4
Получаем:			Получаем:

Перевод чисел из системы счисления с основанием р в десятичную систему счисления. Перевод р-ичного числа в десятичную систему счисления выполняется по формуле (1), при этом основание р и цифры числа записываются в десятичной системе счисления и все действия выполняются по правилам десятичной арифметики.

Пример 7. Переведём двоичное число 1010,011 в десятичную систему счисления. Для этого пронумеруем разряды в числе и запишем его по формуле (1):

Обратите внимание, что здесь выполнены переводы чисел, полученных в примере 4. Сравните результаты. Целое число из десятичной системы счисления было переведено точно, а дробное – приближённо. Последнее связано с тем, что при переводе дробного числа мы ограничились заданным количеством дробных цифр, а остальные отбросили, допустив тем самым погрешность перевода.

Пример 8. Переведём восьмеричное число (числа из примера 5) в десятичную систему счисления:

.

Пример 9. Переведём шестнадцатеричное число (числа из примера 6) в десятичную систему счисления:

.

Целые положительные и отрицательные степени чисел 2, 8 и 16

20	80	160	1					2–1			0,5
21			2	29	83		512	2–2			0,25
22			4	210			1024	2–3	8–1		0,125
23	81		8	211			2048	2–4		16–1	0,0625
24		161	16	212	84	163	4096	2–5			0,03125
25			32	213			8192	2–6	8–2		0,015625
26	82		64	214			16384	2–7			0,0078125
27			128	215	85		32768	2–8		16–2	0,00390625
28		162	256	216		164	65536	2–9	8–3		0,001953125

Перевод из восьмеричной системы счисления в двоичную. Поскольку , то каждая восьмеричная цифра эквивалентна группе из трёх двоичных цифр (триаде):

Восьмеричная цифра	0	1	2	3	4	5	6	7
Двоичная триада	000	001	010	011	100	101	110	111

Для перевода из восьмеричной системы счисления в двоичную каждая цифра исходного восьмеричного числа заменяется соответствующей ей двоичной триадой, например:

3	6	2,	28	=11110010,012	При записи результирующего двоичного числа незначащие нули можно отбросить.
			
0112	1102	0102	0102

Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную. Двоичное число делится на триады влево и вправо от запятой, отделяющей целую часть двоичного числа от дробной. Неполная старшая триада дополняется незначащими нулями слева, неполная младшая – незначащими нулями справа, значение числа при этом не изменяется. Затем каждая двоичная триада заменяется соответствующей ей восьмеричной цифрой. Например:

001|	010|	101|,	0112	= 125,38	Добавленные в неполную старшую тетраду нули перечёркнуты.
			
18	28	58	38

Перевод из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную. Поскольку , то каждая шестнадцатеричная цифра эквивалентна группе из четырёх двоичных цифр (тетраде):

Шестнадцате­ричная цифра	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	А	В	С	D	E	F
Двоичная тетрада	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111

Для перевода из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную каждая цифра исходного шестнадцатеричного числа заменяется соответствующей ей двоичной тетрадой:

3	А	2,	С8	=1110100010,112	При записи результирующего двоичного числа незначащие нули можно отбросить.
			
00112	10102	00102	11002

Перевод чисел из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную. Двоичное число делится на тетрады влево и вправо от запятой, отделяющей целую часть двоичного числа от дробной. Неполная старшая тетрада дополняется незначащими нулями слева, неполная младшая – справа. Затем каждая двоичная тетрада заменяется соответствующей ей шестнадцатеричной цифрой. Например:

0101|	1100|	1001|,	11102	= 5С9,Е16	Добавленные в неполные тетрады нули перечёркнуты.
			
516	С16	916	Е16

Перевод из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную выполняется через двоичную систему счисления: сначала восьмеричное число переводится в двоичную систему счисления; затем полученное двоичное число переводится в шестнадцатеричную систему счисления. Правила переводов изложены выше. Например:

1	7	3,	58	= 1111011,1012 =	0111|	1011|,	1010	= 7В,А16
							
0012	1112	0112	1012		716	В16	А16

Перевод из шестнадцатеричной системы счисления в восьмеричную выполняется также через двоичную систему счисления: сначала шестнадцатеричное число переводится в двоичную систему счисления; затем полученное двоичное число переводится в восьмеричную систему счисления. Правила переводов изложены выше. Например:

1	F	0,	316	= 111110000,00112 =	111|	110|	000|,	001|	100	= 760,148
									
00012	11112	00002	00112		78	68	08	18	48