Ошибки выборки

Разность между характеристикой выборки и генеральной совокупности а называются ошибками репрезентативности (полными ошибками выборки). Изучение этих ошибок является главной целью математической теории выборочного метода. Прибавим и отнимем к ошибке выборки

= +

↓ ↓ ↓

полная систематическая случайная

ошибка ошибка ошибка

выборки

Задача математической статистики: предусмотреть возможность возникновения систематических ошибок и добиться их ликвидации или сведения к минимуму. Если – несмещенная оценка параметра а, то систематическая оценка равна нулю. Например, для систематическую ошибку учли, введя .

Случайные ошибки – такие, которые являются результатом взаимодействия большого числа незначительных в отдельности факторов и имеют в каждом отдельном случае различные значения. Случайная ошибка всегда есть и отлична от нуля, среднее ее значение, вообще говоря, равно нулю. Гаусс изучал случайные ошибки и обнаружил, что они подчиняются закону нормального распределения. Рассматривают различные характеристики случайных величин: средние, средние квадратические, вероятностные, предельные. В качестве примера рассмотрим . Будем рассматривать как случайную величину.

Средней квадратической ошибкой называется среднее квадратическое отклонение средней

.

Отметим, что различно при повторной (с возвратом) и бесповторной (без возврата) выборках. В практике обычно встречается бесповторная выборка. Можно показать, что

для повторной выборки и

для бесповторной выборки, где n – объем выборки, а N – объем генеральной совокупности.

Анализ последних двух формул позволяет сказать, что точность выборки зависит от , от объема n и от величины , которая в повторной выборке равна единице. Когда объем выборки N (а в практике чаще всего n не превышает 10 % от N), то при этом условии и , а . Если , то . Поэтому различие между средними квадратическими погрешностями в повторной и бесповторной выборках практического значения не имеют. Учитывая это, можно полагать, что точность выборочной средней обратно пропорционально . Все это означает, что небольшое увеличение объема выборки n почти не изменяет точности. Найденные выражаются через , величина которого обычно неизвестна. Поэтому, на практике пользуются вместо величиной .

Итак,

для повторной выборки,

для бесповторной выборки.

Средней ошибкой выборки называют , где есть среднее значение модулей отклонений выборки

.

Оказывается, что . Вероятной ошибкой называют .

Так как случайные ошибки подчиняются нормальному распределению, то можно вести речь об аналоге правила трех сигм (предельная ошибка выборки): с вероятностью можно утверждать, что .

Метод произведений

Этот метод есть не что иное, как метод моментов, но просчитанных не для вариант , а для условных вариант (метод нахождения изложен в п. 4). Метод произведений применяется для равноотстоящих вариант . Поэтому, если не является равностоящими, то надо в выборке перейти к равноотстоящим вариантам. Для этого выполняют следующие процедуры.

1. В ранжированном вариационном ряде (1), (2) надо перейти к равноотстоящем вариантам , если не являются равноотстоящими, что обычно бывает на практике. Для этого размах варьирования делят на несколько частичных интервалов . Число частичных интервалов произвольно (обычно оно равно ). На практике в каждый частичный интервал должно попасть не менее 6–8 вариант . Предполагаемая лабораторная работа является учебной, цель ее – изучить суть выборочного метода и последнее требование относительно числа первоначальных вариант в частичных интервалах не будет соблюдено, так как число первоначальных вариант в заданиях невелико.

2. Находят середины частичных интервалов, которые и образуют последовательность равноотстоящих вариант .

3. В качестве новой частоты полученной равноотстоящей варианты принимают общее число первоначальных вариант, попавших в соответствующий частичный интервал. При этом, если некоторая первоначальная варианта одновременно является концом i-го и началом (i+1)-го частичных интервалов, то ее частота примерно поровну распределяется между i-м и (i +1)-м частичными интервалами.

Замечание 1. Если для равноотстоящих вариант в реальных задачах встречаются малозначащие разряды, то соседние интервалы объединяются в один. Этого в данной лабораторной работе не требуется, так как в ней n невелико.

Замечание 2. Замена первоначальных вариант серединами частичных интервалов сопровождается ошибками. Однако эти ошибки будут в основном погашаться, поскольку они имеют разные знаки. Этот метод позволяет упростить вычисления.

Пример 1. В выборке перейти к равноотстоящим вариантам.

	1	1,03	1,05	1,06	1,08	1,10	1,12	1,15	1,16	1,19	1,20	1,23	1,25	1,26	1,29	1,30
	1	3	6	4	2	4	3	6	5	2	3	4	8	4	4	6

2+2 2+1

n = 1 + 3 + 6 + 4 + 2 + 4 + 3 + 6 + 5 + 2 + 3 + 4 + 8 + 4 + 4 + 6 = 65

R = 1,30 – 1 = 0,3

Разобьем интервал (1;1,3) на три интервала.

	1,05	1,15	1,25
	(1,00; 1,10)	(1,10; 1,20)	(1,20; 1,30)
	1 + 3 + 6 + 4 + 2 + 2 = 18	2 + 3 + 6 + 5 + 2 + 2 = 20	1 + 4 + 8 + 4 + 4 + 6 = 27

4. От вариант равноотстоящих переходим к условным вариантам , где h – шаг, т. е. разность между двумя соседними вариантами , с – «ложный нуль». Это обычная замена переменного. Вообще, в качестве с можно взять любую варианту , обычно берут варианту, у которой максимальная частота. Подчеркнем, что варианте принятой в качестве ложного нуля, соответствует условная варианта, равная нулю.

Пример 2. В выборке равноотстоящих вариант перейти к условным вариантам .

	10,2	10,4	10,6	10,8	1 1	11,2	11,4	11,6	11,8	12
	2	3	8	13	3 5	20	12	10	6	1
=	–4	–3	–2	–1	0	1	2	3	4	5

5. Вычисляем условные эмпирические моменты порядка k для равноотстоящих вариант , соответствующих выборкам (1), (2), обозначим их .

В частности,

откуда следует

. (3)

Можно показать, что

. (4)

Метод произведений вычисления и сводится к обработке таблицы для равноотстоящих вариант . Если – неравноотстоящие, то их заменяют на . Первый столбец – варианты равноотстоящие , второй – частоты , третий – , четвертый , пятый , шестой – . Последний столбец является контролем верности составления таблицы, так как

.

Пример 3. По данным выборки равноотстоящих вариант просчитать оценки числовых характеристик и среднеквадратическую ошибку выборки, если она сделана из генеральной совокупности объема N = 1000.

10,2	2	–4	–8	32	18
10,4	3	–3	–9	27	12
10,6	8	–2	–16	32	8
10,8	13	–1	–13	13	0
с = 11,0	25	0	0	0	25
11,2	20	1	20	20	80
11,4	12	2	24	48	108
11,6	10	3	30	90	160
11,8	6	4	24	96	150
12,0	1	5	5	25	36

Контроль счета: 383 + 2 ∙ 57 + 100 = 597

h = 10,4 – 10,2 = 0,2, c = 11

= 0,57 ∙ 0,2 + 11 = 1,114

= [3,83 – 0,57²] ∙ 0,2² = 0,14

Если n < 30, то надо заменить на .

Замечание. Использование условных вариант упрощает счет, так как – маленькие числа и числа разных знаков. Конечно, оценки можно считать и не переходя к условным вариантам, как это было изложено в методе моментов.