IX Международная олимпиада по Математике. Задания олимпиады 15

I X Международная олимпиада по Математике

11 декабря 2014 года

Содержание:

1. Об олимпиаде

2. Задания

3. Технические рекомендации

= = =

1. Об олимпиаде

Уважаемые участники!

Математика - интереснейшая наука! Математика учит правильно и последовательно мыслить, логически рассуждать, развивает ум и внимание, воспитывает волю и настойчивость. Предлагаем вам к задачкам, с первого взгляда сложным, найти изящное и порой красивое решение.

Стань одним из тех смышлёных и любознательных участников, который возьмет крепости Математики!

!	Обратите внимание, что нарушение технических рекомендаций может затруднить или сделать невозможным рассмотрение работы Организаторами конкурса.

Конкурсу присвоен Индекс Олимпиады – OM. Не забывайте указывать его во всех письмах к Организаторам. Не опаздывайте с загрузкой работ.

Конкурс проводится для возрастных групп: 2-3, 4-5, 6-7, 8-9, 10-11 класс.

Возникли вопросы? Сотрудники Центра будут рады вам помочь! Skype: nic-snail, ICQ: 567-749-337, E-mail: konk@nic-snail.ru

ПОЛОЖЕНИЕ о Всероссийских дистанционных конкурсах ЧОУ «ЦДО «СНЕЙЛ»

= = =

2. Задания

2 – 3 класс

Задание 1.

Решите задачи, оформите решение.

1. Слава учится в школе. Если цифры в его возрасте поменять местами, то получится возраст его дедушки, которому больше 60 лет, но меньше 70. На сколько лет мальчик моложе дедушки?

2. Чему равно произведение (разные буквы соответствуют разным цифрам):

З×О×Л×О×Т×А×Я×Р×Ы×Б×К×А=?

3. Н а участке дороги идет ремонт. Водителям приходится объезжать этот участок по запасному пути, отмеченному на плане пунктиром. На сколько километров увеличивает путь этот объезд?

4. Семеро гномов собрали цветы для Белоснежки – всего 35. Первые три гнома собрали столько цветов, что из них могло бы получиться 3 одинаковых букета. Вторые три гнома собрали на 2 цветка больше. А седьмой гном собирал один цветы и поэтому принёс меньше всего. Сколько цветов собрал седьмой гном?

5. Раннее утро. На заборе сидят и поют весёлые песни четыре закадычных друга – воробышек, галчонок, синичка и ласточка. Если воробышек, сидящий крайним справа, перелетит и сядет между галчонком и синичкой, то ласточка окажется на его месте. В каком же порядке они сидят?

6. Кажется, что это два отпечатка с одного негатива, но на самом деле это два разных рисунка. Сколько между ними отличий?

7. Гному Нафане каждую ночь требуется новая свеча, которой он освещает себе дорогу, бродя по городу. Он может сделать 1 новую свечу из 5 огарков. Если у него наберётся 25 огарков, на сколько ночей ему хватит запаса новых свечей?

8. К аков радиус маленькой клумбы, если сумма длин диаметров всех трех клумб равна 14 м, а расстояние между центрами двух крайних клумб равно 8 м?

9. Фермер в 2010 году купил две овцы. Первая каждые три года рожала по одной овце, а вторая каждые два года по одной овце. Все родившиеся овцы ежегодно рожали по одной овце. Сколько б удет овец у фермера в 2014 году?

10. Красная Шапочка напекла для своей бабушки полную корзину пирожков прямоугольной, треугольной и овальной формы. Прямоугольных пирожков было 9, овальных – 12, с капустой – 17. С капустой прямоугольных пирожков было 7, а с мясом овальных – 8. С мясом треугольных пирожков было столько же, сколько и с капустой овальных. Сколько всего пирожков было в корзине?

11. С колько различных ответов можно получить, если поставить скобки в выражении

?

12. Перед тобой башня из кубиков. Сумма чисел на противоположных сторонах каждого кубика равна 7. Какова сумма чисел невидимых сторон всех кубиков?

13. На собачью выставку привезли 101 далматинца. У 56 из них есть чёрное пятно на левом ухе, а у 65 есть пятно на правом ухе, а у 32 – уши белые. У скольких собак пятна на обоих ушах?

14. В верхнюю строчку и первый столбец таблицы (кроме угловой клетки) записали какие-то числа и для этих чисел составили умножения. Потом некоторые числа стерли, а некоторые заменили буквами. Какие две буквы заменяют одно и то же число?

15. Барон Мюнхгаузен сочиняет небылицы по понедельникам, вторникам и средам, а в остальные дни говорит только правду. В какие дни недели он может сказать: «Я лгал вчера», «Я буду лгать завтра», «Я лгал вчера и буду лгать завтра»?

Задание 2. Как это было...

Надеемся, что после выполнения всех заданий вас переполняют эмоции, чувства, у вас отличное настроение от проделанной работы, вам хочется поделиться с остальными участниками и рассказать «Как это было...»

Ответьте на предложенные вопросы:

1. Какое у вас настроение после выполнения всех заданий?

2. За что вы можете себя похвалить?

3. Что было самым трудным и как вы преодолевали трудности?

Постарайтесь, чтобы ответы на вопросы было интересно прочитать и другим участникам. Ответы вы можете написать в любом жанре. Это может быть рассказ, заметка, сказка, стихотворение и др.

Критерии оценивания:

• Рефлексия не предоставлена – 0 баллов

• Рефлексия выполнена для данного конкурса и представляет собой формальные ответы на вопросы, не связанные между собой – 1 балл

• Рефлексия выполнена для данного конкурса и представляет собой авторские развернутые ответы на вопросы – 2 балла.

===================

4 – 5 класс

Задание 1.

Решите задачи, оформите решение.

1. Петя разрезал прямоугольник, длина которого 16 см, а ширина 9 см, на две равные части, из которых потом сложил квадрат. Как он это сделал?

2. Вставь пропущенное число.

   7х + 3 = 12	6/7	8 – 7х = 5
   5х – 7 = 15	4/5	2 + 5х = 20
   11х – 2 = 10	?	11х + 4 = 7

3. Перед тобой башни из кубиков. Сумма чисел на противоположных сторонах каждого кубика равна 7. Какова сумма чисел невидимых сторон всех кубиков?

4. Каллиграфия требует большого внимания. Японский студент за безукоризненную копию получает 25 баллов. За каждую допущенную ошибку отметка снижается на 1 балл. Сколько баллов получит студент, сделавший эту копию?

5. Если этот день не идёт вслед за понедельником и не перед четвергом, а завтра не воскресенье и вчера было не воскресенье, а послезавтра будет не суббота и позавчера была не среда, что это за день?

6. На корабле «Пиратское счастье» несколько кошек, несколько матросов, кок и одноногий капитан. У всех них, вместе взятых, 15 голов и 41 нога. Сколько кошек на корабле?

7. Стороны прямоугольника выражаются целыми числами. Какой длины должны они быть, чтобы периметр прямоугольника численно равнялся его площади?

8. Кубические миллиметры, заключающиеся в одном кубическом метре, приставлены друг к другу в виде полоски. Сколько времени потребуется, чтобы проехать эту полоску при скорости 50 км/ч?

9. Расшифруй числовой ребус (разные буквы обозначают разные цифры).

Т > Р > А > Н < С < П < О < Р < Т > И > Р > О < В < К < А

10. Помоги крысе найти нужные дыры, чтобы пролезть внутрь, и нужные трубы, чтобы выбраться из ящика в левом нижнем углу.

Рисунок с решением сфотографируйте или отсканируйте, а затем вставьте в Бланк ответов.

11. Из этих трёх часов ни одни не идут точно. Одни на полчаса отстают, вторые на сорок минут спешат, а третьи вообще стоят. Так который же час?

12. Для строительства крепкого нового дома гномы набрали 50 камней весом (в граммах) 630, 632, 634, 636, …, 728. Смогут ли гномы увезти их на 7 маленьких телегах, если одна телега выдерживает вес 5 кг?

13. Иван-Царевич летел на Сером Волке и увидел сверху всё тридевятое царство. Он насчитал там 8 городов. Из каждого города в другие города выходили по 4 дороги, которые не пересекались между собой. Нарисуй карту тридевятого царства.

Рисунок с решением сфотографируйте или отсканируйте, а затем вставьте в Бланк ответов.

14. Садовник решил разбить новый фруктовый сад. Он посадил молодые деревья рядами таким образом, что получился квадрат. При этом у него осталось 146 лишних саженцев. Но, чтобы увеличить квадрат, добавив лишний ряд, садовнику пришлось купить еще 31 дерево. Сколько деревьев стало в саду по окончании работы?

15. Саша и Маша очень любят сладости. Как-то раз они пошли в кафе, в котором к любым блюдам за 5 рублей предлагается бесплатный шоколадный десерт.

Какие четыре блюда на 5 рублей могут выбрать Саша и Маша из предложенного меню, чтобы получить бесплатный десерт при условии, что каждое из блюд они могут заказать только один раз?

Задание 2. Как это было...

Надеемся, что после выполнения всех заданий вас переполняют эмоции, чувства, у вас отличное настроение от проделанной работы, вам хочется поделиться с остальными участниками и рассказать «Как это было...»

Ответьте на предложенные вопросы:

1. Какое у вас настроение после выполнения всех заданий?

2. За что вы можете себя похвалить?

3. Что было самым трудным и как вы преодолевали трудности?

Постарайтесь, чтобы ответы на вопросы было интересно прочитать и другим участникам. Ответы вы можете написать в любом жанре. Это может быть рассказ, заметка, сказка, стихотворение и др.

Критерии оценивания:

• Рефлексия не предоставлена – 0 баллов

• Рефлексия выполнена для данного конкурса и представляет собой формальные ответы на вопросы, не связанные между собой – 1 балл

• Рефлексия выполнена для данного конкурса и представляет собой авторские развернутые ответы на вопросы – 2 балла.

===================

6 – 7 класс

Задание 1.

Решите задачи, оформите решение.

1. Вставьте пропущенное число.

   7х + 3 = 12	6/7	8 – 7х = 5
   5х – 7 = 15	4/5	2 + 5х = 20
   11х + 2 = 10	?	11х - 4 = 1

2. Фигурка рака сложена из 17 кусочков. Сложите из этих же кусочков две фигуры: круг и рядом с ним квадрат, сохранив номера кусочков исходного рисунка. Рисунок с решением сфотографируйте или отсканируйте, а затем вставьте в Бланк ответов.

3. Винни-Пух, Пятачок, Ослик и Кролик решили поиграть и запутать нежданных гостей. Они зашифровали свои имена с помощью одной буквы и написали их на домиках: В, П, О и К. Известно, что:

1. Винни-Пух и О. – любят мед,

2. Пятачок и В. – любят варенье,

3. В. ростом выше П.,

4. Кролик ростом ниже П.

5. Ослик и Пятачок одного роста.

Какая буква написана на домике каждого героя?

4. Два мальчика купили 8 пряников. На эту покупку первый потратил 5 рублей, а второй – 3 рубля. По пути они встретили товарища и втроём съели все пряники, причём их порции были одинаковыми. При прощании встретившийся товарищ дал мальчикам 8 рублей. Как они должны разделить между собой полученные деньги?

5. Какое наименьшее количество вентилей следует открыть, чтобы вода пошла по трубе от одной стрелки до другой? В исходной позиции все вентили закрыты.

6. К аждые полчаса паром переплывает реку. В первый раз он отправляется к другому берегу в 7.30 утра, а в последний – в 8 часов вечера. Сколько раз паром переплывёт реку за день?

7. Некоторые клетки квадрата 4×4 – белые, а остальные - черные. Соседними считаются клетки, у которых есть общая сторона. Известно, что у каждой белой клетки ровно 3 черные соседки, а у каждой черной – ровно 1 белая соседка. Восстановите рисунок по этим условиям.

Рисунок с решением сфотографируйте или отсканируйте, а затем вставьте в Бланк ответов.

8. В команде капитана число матросов равно произведению четвертой и восьмой цифры, идущих по порядку. Матросы зашифровали стоимость груза на их корабле, чтобы пираты не знали и не решились на них напасть: «1234567891011121314151617181920». Из надписи нужно вычеркнуть столько цифр, сколько матросов на корабле, не меняя их порядка, чтобы оставшееся число было наибольшим.

9. В темном чулане стоит 20 банок. Из них восемь - с солёными огурцами, семь – с грибами и пять - с помидорами. Какое наибольшее число банок можно взять, не зажигая света, так, чтобы там наверняка осталось, по крайней мере, четыре банки одних солений и три банки других?

10. В поезде Москва – Сочи едут пассажиры Иванов, Петров и Сидоров. Такие же фамилии имеют машинист, кочегар и кондуктор поездной бригады. Известно, что:

1. пассажир Иванов живет в Москве;

2. кондуктор живет на полпути от Москвы до Сочи;

3. пассажир, однофамилец кондуктора, живет в Сочи;

4. тот пассажир, который живет ближе к месту жительства кондуктора, чем другие пассажиры, зарабатывает в месяц ровно втрое больше кондуктора;

5. пассажир Петров зарабатывает в месяц 6000 рублей;

6. Сидоров (из бригады) недавно выиграл у кочегара партию в шахматы.

Как фамилия машиниста?

11. Брат и сестра по очереди пишут цифры со старшего разряда по порядку вплоть до младшего. Начинать с нуля нельзя, а остальные цифры – совершенно произвольные. Если записанное число разделится нацело на 11, то победителем объявляется написавший последнюю цифру, а если не разделится, то победителем будет написавший предпоследнюю цифру. Кто выиграет при правильной игре, если всего должно быть записано 6 цифр?

12. В некотором царстве, в некотором государстве правили цари, и так их любили, что называли только по имени-отчеству. Известно, что цари правили друг за другом, имя последнего царя – Егор, и всегда после отца правил сын и только однажды – после брата - брат. Вот их имена и отчества по алфавиту: Егор Кузьмич, Егор Степанович, Кузьма Романович, Степан Егорович, Степан Кузьмич, Степан Степанович.

Кто правил предпоследним?

13. К ак без помощи инструментов можно проверить, является ли бумажный четырёхугольник квадратом? Ответ обоснуйте.

14. Перед вами три одинаковых игральных кубика. Сколько очков на нижней грани у кубика справа?

15. Найдите все правильные дроби, каждая из которых становится равной при уменьшении её числителя и знаменателя на 1.

Задание 2. Как это было...

Надеемся, что после выполнения всех заданий вас переполняют эмоции, чувства, у вас отличное настроение от проделанной работы, вам хочется поделиться с остальными участниками и рассказать «Как это было...»

Ответьте на предложенные вопросы:

1. Какое у вас настроение после выполнения всех заданий?

2. За что вы можете себя похвалить?

3. Что было самым трудным и как вы преодолевали трудности?

Постарайтесь, чтобы ответы на вопросы было интересно прочитать и другим участникам. Ответы вы можете написать в любом жанре. Это может быть рассказ, заметка, сказка, стихотворение и др.

Критерии оценивания:

• Рефлексия не предоставлена – 0 баллов

• Рефлексия выполнена для данного конкурса и представляет собой формальные ответы на вопросы, не связанные между собой – 1 балл

• Рефлексия выполнена для данного конкурса и представляет собой авторские развернутые ответы на вопросы – 2 балла.

===================

8 – 9 класс

Задание 1.

Решите задачи, оформите решение.

1. В комнате длиною в 7 аршин, шириной в 5 нужно сделать паркетный пол из квадратных дощечек, сторона которых – 4 вершка. Сколько пойдет дощечек?

2. Фигурка рака сложена из 17 кусочков. Сложите из этих же кусочков две фигуры: круг и рядом с ним квадрат, сохранив номера кусочков исходного рисунка. Рисунок с решением сфотографируйте или отсканируйте, а затем вставьте в Бланк ответов.

3. Классный руководитель смотрел номера телефонов ребят и заметил определенную взаимосвязь. Вот некоторые фамилии и номера:

Иванов 6103

Будейко 7216

Галич 5425

Поридзе 7176

Какой телефон у ученика по фамилии Роланд?

4. Каким-нибудь образом расставьте круглые скобки в уравнении 8х+3х-1=24х+1 так, чтобы число 3 оказалось корнем получившегося уравнения.

5. Машины часы опаздывают каждый час на 2 минуты. Если по радио передают сигнал 12 часов, то через какое время на часах Маши будет 12 часов, если её часы показывали точное время ровно 5 часов тому назад?

6. Каллиграфия требует большого внимания. Японский студент за безукоризненную копию получает 25 баллов. За каждую допущенную ошибку отметка снижается на 1 балл. Сколько баллов получит студент, сделавший эту копию?

7. Гардеробщица перепутала номерки троих мужчин, оставивших в начале представления свои шляпы. Какова вероятность того, что она угадает, когда в конце представления будет возвращать им шляпы?

8. Е сли смотреть на аквариум спереди, то рыбка проплыла, как показано на левом рисунке. А если справа – то, как на правом рисунке. Нарисуйте вид сверху.

Рисунок с решением сфотографируйте или отсканируйте, а затем вставьте в Бланк ответов.

9. Четыре учебника геометрии и один алгебры весят вдвое меньше, чем три геометрии и десять алгебры. Сколько процентов вес одного учебника геометрии составляет от веса одного учебника алгебры?

10. В школьной олимпиаде по математике участвовали 100 человек, по физике – 50, по информатике – 48. Когда учеников опросили, в скольких олимпиадах они участвовали, ответ «в двух» дали вдвое меньше человек, чем ответ «в одной»; а ответ «в трёх» - втрое меньше, чем ответ «в одной». Сколько всего учеников участвовало в этих олимпиадах?

11. Перед вами карта города с улицами Степная, Цветочная, Солнечная и переулком Радужным. Известно, что угол между ул. Степной и переулком Радужным равен 132⁰. Чему равен угол между Цветочной и Солнечной улицами, если он в 2 раза меньше, чем угол между Цветочной и Радужным?

12. Чему равен периметр прямоугольного равнобедренного ∆, у которого сумма катетов в 2 раза больше гипотенузы?

13. Сколько раз лифт спустится вниз для подъема 15 человек со средней массой 75кг при грузоподъемности 350кг, если на момент вызова он находился на третьем этаже?

14. Вставьте пропущенное число.

15. Четверо игроков сделали каждый свой прогноз в отношении четырёх лошадей, которые должны были пройти первыми на скачках. Гоша считал, что лошади придут в таком порядке: он указал первым номером лошадь по кличке Звёздочка, вторым – Светлячка, третьим – Золотого Луча и четвёртым – Радугу. Он угадал двух лошадей. Прогноз Славы был таков: первой придёт Радуга, второй – Звёздочка, третьим – Светлячок и четвёртым – Золотой Луч. Слава при этом угадал только одну лошадь. Вася считал, что Светлячок и Радуга займут места рядом друг с другом, но он ошибся. Выиграл Николай. Каков был его прогноз?

Задание 2. Как это было...

Надеемся, что после выполнения всех заданий вас переполняют эмоции, чувства, у вас отличное настроение от проделанной работы, вам хочется поделиться с остальными участниками и рассказать «Как это было...»

Ответьте на предложенные вопросы:

1. Какое у вас настроение после выполнения всех заданий?

2. За что вы можете себя похвалить?

3. Что было самым трудным и как вы преодолевали трудности?

Постарайтесь, чтобы ответы на вопросы было интересно прочитать и другим участникам. Ответы вы можете написать в любом жанре. Это может быть рассказ, заметка, сказка, стихотворение и др.

Критерии оценивания:

• Рефлексия не предоставлена – 0 баллов

• Рефлексия выполнена для данного конкурса и представляет собой формальные ответы на вопросы, не связанные между собой – 1 балл

• Рефлексия выполнена для данного конкурса и представляет собой авторские развернутые ответы на вопросы – 2 балла.

===================

10 – 11 класс

Задание 1.

Решите задачи, оформите решение.

1. Найдите ненужные слова в следующих знакомых вам математических предложениях:

1. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90⁰.

2. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то противолежащий ему острый угол содержит 30⁰.

2. 3 учеников решили покушать. Один из них дал 10 рублей, второй достал 2 пирожка, а третий – 3 пирожка. Сколько из этих денег должен взять второй и третий мальчики?

3. Найдите зависимость между а, b и с, если , , .

4. Начиная сдачу хлеба на продажу, правление ОАО «Сибиряк» из колхоза решило доставить в город эшелон с зерном точно к 11 часам утра. Если машины поведут со скоростью 30 км/час, то колонна прибудет в город в 10 часов утра, а если со скоростью 20 км/час, то в 12 часов дня. Как далеко от колхоза до города, и с какой скоростью следует ехать, чтобы прибыть как раз вовремя?

5. Решите неравенство .

6. На дне озера бьют ключи. Стадо из 183 слонов может выпить его за 1 день, а стадо из 37 слонов – за 5 дней. За сколько дней выпьет озеро один слон?

7. Рулон обоев имеет ширину 60 см и длину 10 м. Сколько рулонов нужно купить для ремонта комнаты, размер которой 3×4×2,5, а общая площадь окна и двери 4м²?

8. Дима и Марина живут в небоскребе, на каждом этаже которого 10 квартир. Номер этажа Димы равен номеру квартиры Марины, а сумма номеров их квартир равна 239. В какой квартире живёт Дима?

9. Три буквы – «Г», «Б», «Л» - входят в состав трёх различных слов, состоящих из 4 букв. В первом слове первая буква - «Н», во втором – «С». Первое слово оканчивается на «А», второе на «О». Третье слово начинается с «Н», а заканчивается на «О». Буквы «Б» и «Г» находятся в словах с первой буквой «Н», а буквы «Б» и «Л» в словах с последней буквой «О». Что это могут быть за слова?

10. Чему равна гипотенуза треугольника, если медианы катетов равны 97 и 83?

11. Ч етверо игроков сделали каждый свой прогноз в отношении четырёх лошадей, которые должны были пройти первыми на скачках. Гоша считал, что лошади придут в таком порядке: он указал первым номером лошадь по кличке Звёздочка, вторым – Светлячка, третьим – Золотого Луча и четвёртым – Радугу. Он угадал двух лошадей. Прогноз Славы был таков: первой придёт Радуга, второй – Звёздочка, третьим – Светлячок и четвёртым – Золотой Луч. Слава при этом угадал только одну лошадь. Вася считал, что Светлячок и Радуга займут места рядом друг с другом, но он ошибся. Выиграл Николай. Каков был его прогноз?

12. Эти три линии образуют один треугольник. Как получить 10 треугольников, добавив к имеющимся трём линиям ещё две?

13. Какое число будет стоять в центре магического квадрата, в который можно вписывать числа от 1 до 25 так, чтобы сумма чисел в каждой горизонтали, вертикали и главной диагонали равнялась бы 65?

14. Сто человек отвечали на вопрос «Будет ли новый президент лучше прежнего?» Из них а человек считали, что будет лучше, b – что будет такой же, с – что будет хуже. Других ответов не было. Социологи построили два показателя «оптимизма» опрошенных: ; . Оказалось, что m=40. Чему в таком случае равно n?

15. Постройте график функции .

Рисунок с решением сфотографируйте или отсканируйте, а затем вставьте в Бланк ответов.

Задание 2. Как это было...

Надеемся, что после выполнения всех заданий вас переполняют эмоции, чувства, у вас отличное настроение от проделанной работы, вам хочется поделиться с остальными участниками и рассказать «Как это было...»

Ответьте на предложенные вопросы:

1. Какое у вас настроение после выполнения всех заданий?

2. За что вы можете себя похвалить?

3. Что было самым трудным и как вы преодолевали трудности?

Постарайтесь, чтобы ответы на вопросы было интересно прочитать и другим участникам. Ответы вы можете написать в любом жанре. Это может быть рассказ, заметка, сказка, стихотворение и др.

Критерии оценивания:

• Рефлексия не предоставлена – 0 баллов

• Рефлексия выполнена для данного конкурса и представляет собой формальные ответы на вопросы, не связанные между собой – 1 балл

• Рефлексия выполнена для данного конкурса и представляет собой авторские развернутые ответы на вопросы – 2 балла.