7.8. Пример 3

Решить ту же задачу методом Рунге-Кутта:

Запишем формулы метода Рунге-Кутта:

, где

Проведем по ним расчеты.

Для имеем

Для имеем

………………………………………………………………..

Для имеем

Выпишем полученные по методу Рунге-Кутта значения функции и значения точного решения в этих же точках в таблицу и проследим накопление ошибки:

	Метод Рунге-Кутта	Точное решение	Ошибка вычислений
	1.2221	1.2221	0.0000
	1.4977	1.4977	0.0000
	1.8432	1.8432	0.0000
	2.2783	2.2783	0.0000
	2.8274	2.8274	0.0000
	Метод Рунге-Кутта	Точное решение	Ошибка вычислений
	3.5201	3.5202	0.0001
	4.3927	4.3928	0.0001
	5.4894	5.4895	0.0001
	6.8643	6.8645	0.0002
	8.5834	8.5836	0.0002

Сравнивая картину погрешностей в методе Рунге-Кутта и в рассмотренных ранее методе Эйлера и модифицированном методе Эйлера, можно видеть, что погрешности этого метода на несколько порядков меньше соответствующих погрешностей двух других методов. Именно поэтому метод Рунге-Кутта находит наибольшее применение.

7.9. Упражнения для самостоятельного решения

Решение задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка методом Эйлера

7.9.1. Задача №1

Степень радиоактивности пропорциональна количеству остающегося вещества. Можно написать дифференциальное уравнение, отображающее скорость изменения количества радиоактивного вещества: , где y – это количество вещества в момент времени t. Пусть k=0.01 и количество вещества, имеющегося на момент времени t₀=0 равно y₀=100 г. Требуется найти количество вещества, которое останется на момент времени t=100.

Эта задача проста с точки зрения математики, и для нее можно указать аналитическое решение. Оно имеет следующий вид:

, так что при t=100 получаем y(100)=36.788 г

Это точное решение поможет нам сравнить работу разных методов и проследить накопление ошибки при подсчете значения y(100).

Решите задачу по данным своего варианта (указанным методом и с заданным шагом) и сравните значение y(100) с точным значением.

Данные по вариантам:

№ вар.	1	2	3	4	5	6	7	8
Ме-тод	Эйле-ра	Эйле-ра	Эйле-ра	Эйле-ра	Моди-фици-рован-ный Эйле-ра	Моди-фици-рован-ный Эйле-ра	Рунге-Кутта	Рунге-Кутта
h	25	10	5	1	20	10	100	50

7.10. Упражнения для самостоятельного решения

Решение задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка методом Рунге-Кутта