Вычислительная математика
1. Погрешности вычислений 2
1.1. Основные определения и свойства 2
1.2. Пример 3
1.3. Упражнения для самостоятельного решения 3
2. Методы решения нелинейных уравнений 5
2.1. Общие сведения 5
2.2. Метод хорд 5
2.2. Метод касательных Ньютона 6
2.3. Пример 1 7
2.4. Пример 2 8
2.5. Упражнения для самостоятельного решения: 9
3. Методы решения систем линейных уравнений 9
3.1. Основные понятия 10
3.2. Метод Гаусса 10
3.3. Итерационные методы 12
3.4. Пример 1 13
3.5. Пример 2 14
3.6. Упражнения для самостоятельного решения 15
5. Интерполяция и аппроксимация функции 16
5.1. Основные определения 17
5.2. Интерполяция функции 17
5.3. Аппроксимация функции 17
5.4. Пример 1 18
5.6. Пример 3 20
5.7 Упражнения для самостоятельного решения 21
5.7.1. Задача №1 21
5.8. Упражнения для самостоятельного решения 22
5.8.1. Задача №1 22
6. Численное интегрирование 23
6.1. Основные определения 24
6.2. Метод прямоугольников. 25
6.3. Метод трапеций 25
6.4. Метод Симпсона 26
6.5. Пример 1 27
6.6. Пример 2 28
6.7. Пример 3 28
6.8. Упражнения для самостоятельного решения 29
6.8.1. Задача №1 29
6.9. Упражнения для самостоятельного решения 29
6.9.1. Задача №1 29
7. Методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка 30
7.1. Основные понятия 30
7.2. Метод Эйлера 30
7.3. Модифицированный метод Эйлера 31
7.4. Метод Рунге-Кутта 31
7.5. Пример 1 32
7.6. Пример 2 33
7.8. Пример 3 34
7.9. Упражнения для самостоятельного решения 36
7.9.1. Задача №1 36
7.10. Упражнения для самостоятельного решения 37
7.10.1. Задача №1 37
7.10.2. Задача №2 39
Погрешности вычислений
1.1. Основные определения и свойства
Все вычисления, проводимые при решении какой-либо задачи, страдают приближенностью. Это происходит потому, что используемые в этих вычислениях величины несут в себе неточность измерения, определяемую единицей измерения прибора, а также потому, что в процессе вычисления могут производиться округления величин, приводящие также к накоплению погрешности вычисляемых величин. Это надо обязательно учитывать, чтобы всегда иметь представление о величине ошибки полученного результата.
Различают два вида погрешностей – абсолютную и относительную. Абсолютная погрешность некоторой величины равна разности между ее истинным значением и приближенным значением, полученным в результате измерения или вычисления. Относительная погрешность – это отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного значения величины.
Таким образом, если а – приближенное значение величины х, то выражения для абсолютной и относительной погрешностей запишутся соответственно в виде
х=х-а, х=х/ а
Но
так как истинное значение величины х
обычно
неизвестно, то за величину абсолютной
погрешности значения а
принимают
предельную
погрешность а,
равную верхней оценке модуля абсолютной
погрешности, т.е.
.
В этом случае истинное значение х
находится
в интервале (а
– а,
а +а).
Аналогично поступают с относительной
погрешностью.
Исходя из полученных определений погрешностей, можно доказать несколько свойств их, полезных для оценок погрешностей величин, полученных в результате арифметических операций над приближенными значениями.
(В приводимых ниже формулах договоримся оценку абсолютной погрешности величины а обозначать а, а оценку относительной погрешности этой же величины как а.)
Вот эти свойства:
Оценка абсолютной погрешности суммы или разности двух приближенных величин равна сумме оценок их абсолютных погрешностей
Если k – точное значение сомножителя некоторой приближенной величины а, то оценка абсолютной погрешности произведения ka равна умноженной на k оценке абсолютной погрешности данной величины
Оценка относительной погрешности произведения или частного двух приближенных величин равна сумме оценок их относительных погрешностей
Оценка относительной погрешности приближенной величины, возведенной в степень, равна произведению оценки относительной погрешности этой величины на показатель степени
Если k – точное значение сомножителя некоторой приближенной величины, то оценка относительной погрешности произведения равна оценке относительной погрешности данной величины
Оценка относительной погрешности приближенной величины равна отношению оценки ее абсолютной погрешности к модулю приближенного значения этой величины
Если известна оценка относительной погрешности величины, то оценку абсолютной погрешности ее можно найти, умножив оценку относительной погрешности на модуль приближенного значения величины
1.2. Пример
Пусть необходимо вычислить значение величины y ,а также оценить погрешность этого вычисления. При этом известны оценки абсолютных погрешностей используемых в вычислении величин
Дано:
Тогда проделаем следующие расчеты:
