Имитационное моделирование как статистический эксперимент

Имитационная модель – это формальное (то есть выполненное на некотором формальном языке) описание логики функционирования исследуемой системы и взаимодействия отдельных ее элементов во времени, учитывающее наиболее существенные причинно-следственные связи, присущие системе, и обеспечивающие проведение статистических экспериментов.

При ИМ применяется много математических схем: конечные и вероятностные автоматы, системы массового обслуживания, агрегативные системы, системы, описываемые дифференциальными уравнениями и марковскими процессами, методы общей теории систем, а также специально сконструированные эвристические подходы для конкретных типов объектов моделирования. Применительно к экономическим объектам и процессам наиболее часто используются математические схемы СМО, агрегативные системы, а также эвристические подходы. Кроме этого, отдельные элементы метода статистических испытаний или метода Монте-Карло, которые лежат в основе ИМ, применяются достаточно часто при расчете различных параметров для других типов моделей – эконометрических, моделей кривых роста и т.п.

ИМ следует рассматривать как статистический эксперимент. Все другие математические модели в отличие от имитационных отражают устойчивое во времени поведение системы. ИМ дает результаты, которые представляют собой наблюдения над системой. Результаты таких наблюдений подвержены экспериментальным ошибкам. Это означает, что полученные характеристики ИМ основаны на статистических проверках. Поскольку ИМ может заменить эксперимент на реальных системах, оно находит применение в исследовании экономических систем, где невозможно провести эксперимент.

Суть статистических испытаний состоит в том, что результат испытания становится в зависимость от значения некоторой случайной величины, распределенной по заданному закону. Поэтому результат каждого отдельного испытания также носит случайный характер.

Проведя серию испытаний, получают множество частных значений наблюдаемой характеристики, то есть выборку. Теоретической основой статистических испытаний являются предельные теоремы теории вероятностей (теорема Чебышева, теорема Бернулли, теорема Пуассона). Принципиальное значение предельных теорем состоит в том, что они гарантируют высокое качество статистических оценок при весьма большом числе испытаний.

Метод Монте-Карло и проверка статистических гипотез

В определенном смысле предшественниками методов современного имитационного моделирования можно считать статистические испытания по методу Монте-Карло. Основная идея этого метода заключается в использовании случайных выборок для получения искомых оценок. В свою оче­редь, процесс получения случайных выборок предполагает, что исходная задача была формализована с учетом соответствую­щих законов распределений входящих случайных величин.

Зарождение метода связано с работой фон Неймана и Улама в конце 1940-х гг., когда они ввели для него название «Монте-Карло» и применили его к решению некоторых задач экранирования ядерных излучений. Этот математический метод был известен и ранее, но свое второе рождение нашел в Лос-Аламосе в закрытых работах по ядерной технике, которые велись под кодовым обозначением «Монте-Карло». Применение метода оказалось настолько успешным, что он получил распространение и в других областях, в частности в экономике.

Поэтому многим специалистам термин «метод Монте-Карло» иногда представляется синонимом термина «имитационное моделирование», что в общем случае неверно. Имитационное моделирование – это более широкое понятие, и метод Монте-Карло является важным, но далеко не единственным методическим компонентом имитационного моделирования.

Согласно методу Монте-Карло проектировщик может моделировать работу тысячи сложных систем, управляющих тысячами разновидностей подобных процессов, и исследовать поведение всей группы, обрабатывая статистические данные. Другой способ применения этого способа заключается в том, чтобы моделировать поведение системы управления на очень большом промежутке модельного времени (несколько лет), причем астрономическое время выполнения моделирующей программы на компьютере может составить доли секунды. Рассмотрим, метод Монте-Карло подробнее.

В различных задачах, встречающихся при создании сложных систем, могут использоваться величины, значения которых определяются случайным образом. Примерами таких величин являются:

• случайные моменты времени, в которые поступают заказы на фирму;

• загрузка производственных участков или служб объекта экономики;

• внешние воздействия (требования или изменения законов, платежи по штрафам и др.)

• оплата банковских кредитов;

• поступление средств от заказчиков;

• ошибки измерений.

В качестве соответствующих им переменных могут использоваться число, совокупность чисел, вектор или функция. Одной из разновидностей метода Монте-Карло при численном решении задач, включающих случайные переменные, является метод статистических испытаний, который заключается в моделировании случайных событий.

Метод Монте-Карло представляет собой численный способ решения исследовательских задач математического характера на основе моделирования случайных величин и формализованного описания неопределенности. Этот способ, называемый также методом статистических испытаний, на основе статистических данных и различного рода ограничений позволяет сформировать имитационные модели и создать множество сценариев реализации задач исследования и выбрать наиболее вероятный из них. При вычислениях методом Монте-Карло статистические результаты получаются путем повторяющихся испытаний. Вероятность того, что эти результаты отличаются от истинных не более чем на заданную величину, есть функция количества испытаний.

В основе вычислений по методу Монте-Карло лежит случайный выбор чисел из заданного вероятностного распределения. При практических вычислениях эти числа берут из таблиц или получают путем некоторых операций, результатами которых являются псевдослучайные числа с теми же свойствами, что и числа, получаемые путем случайной выборки. Имеется большое число вычислительных алгоритмов, которые позволяют получить длинные последовательности псевдослучайных чисел.

ИМ с помощью метода Монте-Карло состоит из 5 этапов:

1. установление распределения вероятностей для существенных переменных;

2. построение интегрального распределения вероятности для всех переменных;

3. установление интервала случайных чисел для каждой переменной;

4. генерация случайных чисел;

5. имитация путем многих попыток.

Применение метода Монте-Карло может дать существенный эффект при моделировании развития процессов, натурное наблюдение которых нежелательно или невозможно, а другие математические методы применительно к этим процессам либо не разработаны, либо неприемлемы из-за многочисленных оговорок и допущений, которые могут привести к серьезным погрешностям или неправильным выводам. В связи с этим необходимо не только наблюдать развитие процесса в нежелательных направлениях, но и оценивать гипотезы о параметрах нежелательных ситуаций, к которым приведет такое развитие, в том числе и параметрах рисков.

Метод статистических испытаний (Монте-Карло), основанный на использовании датчиков псевдослучайных величин при многочисленных реализациях вариантов поведения сложной экономической системы (или сложного процесса) и аппарата проверки статистических гипотез, полезен для предварительного анализа последствий принимаемых решений. Являясь бесспорно мощным средством при исследовании систем, этот метод вынуждает разрабатывать моделирующую программу. Такое обстоятельство не позволяет применять в чистом виде метод Монте-Карло для решения экономических задач. С учетом отмеченных особенностей данный метод включается в состав многих моделирующих систем, но только для статистических испытаний с возможностью проверки гипотез.

Лекция 3