1.3. Марковские модели безаварийности функционирования технических объектов.

Как указывалось ранее, технический объект может находиться в одном из двух состояний: безопасном и опасном. Обозначим первое состояние через О (ноль), второе - через 1 (единицу). Для формализации процесса функционирования технического объекта сделаем следующие допущения.

Вероятность появления на любом промежутке времени ∆t того или другого числа событий, переводящих технический объект из одного состояния в другое, не зависит от того, какое число событий попало на другие промежутки, не пересекающиеся с данным, т. е. не зависит от состояния технического объекта в предшествующие моменты времени, что является характерной чертой марковского процесса.

Вероятность того, что за элементарный промежуток времени ∆t технический объект совершит два и более переходов, является величиной второго порядка малости по сравнению с вероятностью совершения за этот же промежуток времени одного перехода. Вероятность появления того или другого числа событий, переводящих технический объект из состояния в состояние, на участке времени ∆t зависит лишь от длины этого участка.

На основании указанных свойств потоки событий, переводящих технический объект из одного состояния в другое, являются простейшими (пуассоновскими), а процесс, протекающий в системе с дискретными состояниями и непрерывным временем, является марковским.

Рис. . Граф для двух состояний технического объекта

При марковском процессе функционирования технического объекта предполагается, что их отказы возникают согласно экспоненциальному закону распределения, а время восстановления представляет собой случайную величину также с экспоненциальным законом распределения, что подтверждено многочисленными исследованиями.

Граф состояний, соответствующий рассматриваемому случайному процессу функционирования технического объекта, изображен на рис. Цифры в кружках соответствуют возможным состояниям объекта, стрелки - возможным переходам из состояния в состояние.

Возле стрелок указаны интенсивности переходов, возле дугообразных стрелок указаны вероятности остаться в течение промежутка времени ∆t в исходном состоянии.

При экспоненциальном законе распределения вероятность перехода из i-го в k-ое состояние в интервале (t, t + ∆t } равна ∆tλ_ik, где λ_ik -интенсивность потока событий, переводящих технический объект из i-го а к-е состояние.

Если технический объект в момент времени t находился в состоянии 0, то вероятность P_o1(∆t) его перехода в состояние 1 за малый промежуток времени ∆t соответствует вероятности наступления опасного состояния за этот промежуток времени:

P_o1(∆t) =1-exp(l – λ₀₁∆t) = λ₀₁∆t ,

где λ₀₁∆t -параметр потока опасных отказов.

Вероятность P_oo(∆t) остаться в течение промежутка времени ∆t в состоянии О соответствует вероятности безотказной работы (вероятности отсутствия опасных отказов) технического объекта за этот промежуток времени:

P_oo(∆t) = ехр(– λ₀₁∆t) = 1 – λ₀₁∆t.

Вероятность Р_1о(∆t) перехода из состояния 1 в состояние О соответствует вероятности восстановления безопасного состояния (вероятности устранения опасного отказа)- за промежуток времени ∆t:

P₁₀(∆t) =1-ехр(1- λ₁₀∆t) = λ₁₀∆t,

где λ₁₀ - интенсивность восстановления безопасного состояния (интенсивность устранения опасных отказов).

Вероятность Р₁₁(∆t) остаться в течение промежутка времени ∆t в состоянии 1 соответствует вероятности нахождения технического объекта в опасном состоянии:

P₁₁(∆t) = exp(-λ₁₀∆t) = 1 - λ₁₀∆t.

Для определения вероятностей безопасного P_o(t) и опасного P₁(t) состояний технического объекта в произвольный момент времени t решается система дифференциальных уравнений, описывающих вероятности состояний для дискретной системы с двумя состояниями, в которой протекает марковский процесс с непрерывным временем. В результате получаем следующее решение:

P_o(t) =

P₁(t) =

Допущение о марковском характере процесса функционирования технического объекта позволяет относительно просто получить зависимость вероятности безопасного состояния технического объекта от их надежностных параметров (параметра потока опасных отказов и интенсивности восстановления) и позволяет в первом приближении проанализировать наиболее эффективные пути повышения надежности и безопасности.

Таким образом, длительность интервала времени t_c, после которого устанавливается стационарное значение Р₀(t) = Р₀(∞), при стационарном процессе:

Р₀(t)=P₀ ( )= К₀

С увеличением коэффициента К₀, вероятность безопасного состояния резко снижается. Поэтому можно достичь высокого уровня безопасности как за счет повышения надежности, т. е. повышения наработки на опасный отказ Т_о и снижения времени устранения опасного отказа Т_у, так и за счет обеспечения условия:

даже при низкой исходной надежности технического объекта.

При заданном уровне безопасности можно определить нормативные требования к надежности технического объекта. Для этого на рисунке приведен график, построенный по вышерассмотренному уравнению:

Рис. Зависимости между надежностными показателями технического объекта, при которых обеспечивается требуемый уровень безопасности.

Задаваясь требуемым уровнем, безопасности (например, исходя из требований ГОСТ 12.1.010-76, в котором задана допустимая вероятность взрыва на любом взрывоопасном участке, или ГОСТ 12.1.004-85, который нормирует вероятность воздействия на людей опасных факторов пожара) по графику определяем одновременно показатели Т_о и Т_у, которые находятся в строгом соответствии между собой. При этом получается множество пар значений Т_о и Т_у, что позволяет наметить наиболее эффективные мероприятия по достижению требуемых уровней безопасности либо за счет повышения безотказности, либо за счет улучшения ремонтопригодности.