Простые проценты

Пусть ‑ первоначальная сумма долга, ‑ ставка процента, ‑ наращенная сумма к концу -го промежутка начисления.

Формула простых процентов имеет вид:

(1)

Множитель называют коэффициентом (множителем) наращения, а величину ‑ ставка процентов за время .

Проценты за лет можно представить в виде

(2)

Эффективная ставка процента в схеме простых процентов

(3)

убывает с ростом .

Если на разных промежутках начисления процентов устанавливаются разные ставки процентов , то наращенная сумма за время будет равна:

(4)

Момент возврата ссуды может не указываться точно, а быть переменной величиной (например, в случае накопительного вклада до востребования). Тогда формула простых процентов приобретает следующий вид:

(5)

где ‑ момент выдачи ссуды;

‑ момент возврата долга с процентами.

В соответствии с этой формулой накопленная сумма является линейной функцией времени.

Пример. Найти сумму накопленного долга и проценты, если ссуда 100 000 руб. выдана на 2 года под простые 15% годовых. Во сколько раз увеличится наращенная сумма при повышении ставки на 1%?

Решение. Наращенная сумма находится по формуле (1):

руб.

При увеличении ставки на 1% наращенная сумма станет равной

руб.

и, следовательно, увеличится на 2000 руб. или в раза.

Сложные проценты

При наращении по схеме сложных процентов происходит реинвестирование или капитализация полученных процентов, таким образом, при ставке каждая следующая наращенная сумма возрастает на долю от предыдущей суммы, в которой учтены проценты, начисленные в предыдущие периоды.

Формула сложных процентов имеет вид:

(6)

Наращенная сумма пропорциональна начальной сумме . Коэффициент пропорциональности называют множителем наращения.

Проценты за лет можно представить в виде:

(7)

Эффективная процентная ставка в схеме сложных процентов за -ый период начисления не зависит от и равна номинальной.

Проценты за нецелое число периодов

Если срок измеряется не в годах , а в днях , то в качестве нужно взять величину , где ‑ так называемая временная база, т.е. число дней в году. При расчете процентов применяют две временные базы: дней (12 месяцев по 30 дней) или дней. Если , то получают обыкновенные или коммерческие проценты, а при использовании действительной продолжительности года (365, 366 дней) рассчитывают точные проценты.

Число дней ссуды также можно измерить приближенно и точно. В первом случае продолжительность ссуды определяется из условия, согласно которому любой месяц принимается равным 30 дням. В свою очередь точное число дней ссуды определяется путем подсчета числа дней между датой выдачи ссуды и датой ее погашения. День выдачи и день погашения считаются за один день. Точное число дней между двумя датами можно определить по таблице «Порядковые номера дней в году», которая приводится в любом учебнике по финансовой математике.

На практике применяются три варианта расчета процентов.

1. Точные проценты с точным числом дней ссуды. Этот вариант, естественно, дает самые точные результаты. Данный способ применяется центральными банками многих стран и крупными коммерческими банками, например, в Великобритании, США. В коммерческих документах он обозначается как 365/365 или ACT/ACT.

2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды. Этот метод, иногда называемый банковским (Banker's Rule), распространен в межстрановых ссудных операциях коммерческих банков, во внутристрановых — во Франции, Бельгии, Швейцарии. Он обозначается, как 365/360 или АСТ/360. Этот вариант дает несколько больший результат, чем применение точных процентов. Заметим, что при числе дней ссуды, превышающем 360, данный способ приводит к тому, что сумма начисленных процентов будет больше, чем предусматривается годовой ставкой. Например, если , то . Множитель наращения за год при условии, что , составит

3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды. Такой метод применяется тогда, когда не требуется большой точности, например при промежуточных расчетах. Он принят в практике коммерческих банков Германии, Швеции, Дании. Метод условно обозначается как 360/360.

Пример. Вклад в размере 3000 руб. положен в банк на депозит 10 марта под 15% годовых по схеме сложных процентов. Какую сумму вкладчик получит 22 октября?

Решение.