Теорема Вариньона о моменте равнодействующей.

Докажем следующую теорему Вариньона: момент равнодействующей плоской системы сходящихся сил от­носительно любого центра равен алгеб­раической сумме моментов слагаемых сил относительно того же центра.

Р ассмотрим систему сил F₁, F₂, … F_n, сходящихся в точке А (рис. 16). Возьмем произвольный центр О и проведем через него ось Ох, перпендикулярную к прямой ОА; положительное направление оси Ох выбираем так, чтобы знак проекции любой из сил на эту ось совпадал со знаком ее момента относительно центра О.

Рис. 16.

Д ля доказательства теоремы найдем соответствующие выражения моментов m₀(F₁), m₀(F₂), … . По формуле . Но, как видно из рисунка, , где F_1x - проекция силы F₁ на ось Ох; сле­довательно

.

Аналогично вычисляются моменты всех других сил.

О бозначим равнодействующую сил F₁, F₂, … F_n, через R, где . Тогда, по теореме о проекции суммы сил на ось, получим . Умножая обе части этого равенства на ОА, найдем:

или,

.

Пара сил. Момент пары.

Парой сил называется система двух равных по модулю, параллельных и направленных в противо­положные стороны сил, действующих на абсолютно твердое тело (рис. 17). Система сил, образующих пару, очевидно, не находится в равновесии (см. аксиому 1).

П лоскость, проходящая через линии действия сил пары, назы­вается плоскостью действия пары. Расстояние d между линиями действия сил пары называется плечом пары. Действие пары сил на твердое тело сводится к некоторому вращательному эффекту, завися­щему от: 1) модуля F сил пары и длины ее плеча d; 2) положения плоскости действия пары; 3) направления поворота в этой плоскости. Для характеристики этого эффекта вводится понятие момента пары.

Пo аналогии с моментом силы введем следующее определение: моментом пары называется величина, равная взятому с соответствующим знаком, произведению модуля одной из сил пары на ее плечо. Будем обозначать момент пары буквой т или М. Тогда

Рис. 17.

Момент пары (как и момент силы) будем считать положи­тельным, когда пара стремится повернуть тело против хода часовой стрелки, и отрицательным - когда по ходу часовой стрелки. Из рис. 17 видно, что момент пары равен моменту одной из ее сил относительно точки приложения другой,

т. е.

Д окажем следующую теорему о моментах сил пары: алгебраическая сумма моментов сил пары, относительно любого центра, лежа­щего в плоскости ее действия, не зависит от выбора этого центра и равна моменту пары. В самом деле, беря в плоскости действия пары любую точку О (рис. 18), находим: . Складывая, эти равенства почленно и замечая, что F' = F и

Ob — Oa = d, где d—плечо пары, полу­чаем: Рис. 18.

Доказанной теоремой удобно пользо­ваться при вычислении моментов сил пары относительно любого центра.

Теорема о параллельном переносе силы.

Р авнодействующая системы сходящихся сил непосредственно находится с помощью аксиомы параллелограмма сил. Для двух параллельных сил эта задача была решена путем приведения их к сходящимся силам. Очевидно, что анало­гичную задачу легко будет решить и для произвольной системы сил, если найти и для них метод приведения к силам, приложенным в одной точке.

С илу, приложенную к абсолютно твердому телу, можно, не изменяя оказываемого действия, переносить параллельно ей самой в любую точку тела, прибавляя при этом пару с момен­том, равным моменту переносимой силы относительно точки, куда сила переносится.

Рис. 19.

Пусть на твердое тело действует сила F,

п риложенная в точке А (рис. 19, а). Действие этой силы не изменится, если в любой точке В тела приложить две уравновешенные силы F’ и F’’, такие что

F ’ = F, F’’ = -F. Полученная система трех сил и представляет собой силу F’, равную F, но приложенную в точке В и пару (F, F’’) с моментом

.