ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ АДМИНИСТРАЦИИ ВЛАДИМИРСКОЙ ОБЛАСТИ

ГБОУ СПО ВО «ВЛАДИМИРСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»

РЕФЕРАТ

По дисциплине «Дискретная математика»

На тему : «Формальные языки и грамматики»

Выполнил:

Студент гр.ПИ-213 Хватков М.В

Проверил:

Преподаватель Михайлова Е.В.

СОДЕРЖАНИЕ

1.Математический метод изучения языка и его принципы…………………………….4

2.Алфавит………………………………………………………………………………….5

3.Формальные грамматики. Способы задания языка……………………………….......6

4.Преобразование видов грамматики и ее построение…………………………………8

5.Состав формальной грамматики. Примеры…………………………………………...9

6.Цепочка символов. Операции над цепочками……………………………………….12

7.Задание языка…………………………………………………………………………..15

8.Форма Бэкуса – Наура. Принцип рекурсии………………………………………….16

ВВЕДЕНИЕ

Формальная грамматика или просто грамматика в теории формальных языков — способ описания формального языка, то есть выделения некоторого подмножества из множества всех слов некоторого конечного алфавита. Различают порождающие и распознающие (или аналитические) грамматики — первые задают правила, с помощью которых можно построить любое слово языка, а вторые позволяют по данному слову определить, входит ли оно в язык или нет.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД ИЗУЧЕНИЯ ЯЗЫКОВ И ЕГО ПРИНЦИПЫ

Чтобы лучше разобраться в том, как именно изучаются формальные языки, необходимо сначала понять, в чем заключаются особенности математических методов изучения. Согласно Колмогорову и др., математический метод, к чему бы он ни применялся, всегда следует двум основным принципам:

Обобщение (абстрагирование). Объекты изучения в математике — это специальные сущности, которые существуют только в математике и предназначены для изучения математиками. Математические объекты образуются путем обобщения реальных объектов. Изучая какой-нибудь объект, математик замечает только некоторые его свойства, а от остальных отвлекается. Так, абстрактный математический объект «число» может в реальности обозначать количество гусей в пруду или количество молекул в капле воды; главное, чтобы о гусях и о молекулах воды можно было

говорить как о совокупностях. Из такой «идеализации» реальных объектов следует одно важное свойство: математика часто оперирует бесконечными совокупностями, тогда как в реальности таких совокупностей не существует.

Строгость рассуждений. В науке принято для выяснения истинности того или иного рассуждения сверять их результаты с тем, что существует в действительности, т.е. проводить эксперименты. В математике этот критерий проверки рассуждения на истинность не работает. Поэтому выводы не проверяются экспериментальным путем, но принято доказывать их справедливость строгими, подчиняющимися определенным правилам, рассуждениями. Эти рассуждения называются доказательствами и доказательства служат единственным способом обоснования верности того или иного утверждения.

Таким образом, чтобы изучать языки с помощью математических методов, необходимо сначала выделить из языка его свойства, которые представляются важными для изучения, а затем эти свойства строго определить. Полученная таким образом абстракция будет называться формальным языком — математической моделью реального языка. Содержание конкретной математической модели зависит от того, какие свойства важны для изучения, т.е. что планируется в данный момент выделить и изучать.

В качестве известного примера такой можно математической абстракции можно привести модель, известную под неблагозвучным для русского уха названием «мешок слов». В этой модели исследуются тексты естественного языка (т.е. одного из тех языков, которые люди используют в процессе повседневного общения между собой). Основной объект модели мешка слов — это слово, снабженное единственным атрибутом, частотой встречаемости этого слова в исходном тексте. В модели не учитывается, как слова располагаются рядом друг с другом, только сколько раз каждое слово встречается в тексте. Мешок слов используется в машинном обучении на основе текстов в качестве одного из основных объектов изучения.

Алфавит

Но в теории формальных языков представляется важным изучить законы расположения слов рядом друг с другом, т.е. синтаксические свойства текстов. Для этого модель мешка слов выглядит бедной. Поэтому формальный язык задается как множество последовательностей, составленных из элементов конечного алфавита. Определим это более строго.

Алфавит представляет собой конечное непустое множество элементов. Эти элементы будем называть символам. Для обозначения алфавита обычно будем использовать латинское V, а для обозначения символов алфавита — начальные строчные буквы латинского алфавита. Например, выражение V = {a,b} обозначает алфавит из двух символов a и b.

Цепочка представляет собой конечную последовательность символов. Например, abc — цепочка из трех символов. Часто при обозначении цепочек в символах используют индексы. Сами цепочки обозначают строчными символами конца греческого алфавита. Например, omega = a1...an — цепочка из n символов. Цепочка может быть пустой, т.е. не содержать ни одного символа. Таким цепочки будем обозначать греческой буквой эпсилон.

Наконец, формальный язык L над алфавитом V — это произвольное множеств цепочек, составленных из символов алфавита V. Произвольность здесь означает тот факт, что язык может быть пустым, т.е. не иметь ни одной цепочки, так и бесконечным, т.е. составленным из бесконечного числа цепочек. Последний факт часто вызывает недоумение: разве имеются реальные языки, которые содержат бесконечное число цепочек? Вообще говоря, в природе все конечно. Но мы здесь используем бесконечность как возможность образования цепочек неограниченной длины. Например, язык, который состоит из возможных имен переменных языка программирования C++, является бесконечным. Ведь имена переменных в C++ не ограничены по длине, поэтому потенциально таких имен может быть бесконечно много. В реальности, конечно, длинные имена переменных не имеют для нас особого смысла т.к. к концу чтения такого имени уже забываешь его начало. Но в качестве потенциальной возможности задавать неограниченные по длине переменные, это свойство выглядит полезным.

Итак, формальные языки — это просто множества цепочек, составленных из символов некоторого конечного алфавита. Но возникает вопрос: как можно задать формальный язык? Если язык конечен, то можно просто выписать все его цепочки одну за другой (конечно, можно задуматься, имеет ли смысл выписывать цепочки языка, имеющего хотя бы десять тысяч элементов и, вообще, есть ли смысл в таком выписывании?). Что делать, если язык бесконечен, как его задавать? В этот момент на сцену выходят грамматики.

Формальные грамматики.Способы задания языка

Способ задания языка называет грамматикой этого языка. Таким образом, грамматикой мы называем любой способ задания языка. Например, грамматика L = {a^nb^n} (здесь n — натуральное число) задает язык L, состоящий из цепочек вида ab, aabb, aaabbb и т.д. Язык L представляет собой бесконечное множество цепочек, но тем не менее, его грамматика (описание) состоит всего из 10 символов, т.е. конечна.

Назначение грамматики — задание языка. Это задание обязательно должно быть конечным, иначе человек не будет в состоянии эту грамматику понять. Но каким образом, конечное задание описывает бесконечные совокупности? Это возможно только в том случае, если строение всех цепочек языка основано на единых принципов, которых конечное число. В примере выше в качестве такого принципа выступает следующий: «каждая цепочка языка начинается с символов a, за которыми идет столько же символов b». Если язык представляет собой бесконечную совокупность случайным образом набранных цепочек, строение которых не подчиняется единым принципам, то очевидно для такого языка нельзя придумать грамматику. И здесь еще вопрос, можно или нет считать такую совокупность языком. В целях математической строгости и единообразия подхода обычно такие совокупности языком считают.

Итак, грамматика языка описывает законы внутреннего строения его цепочек. Такие законы обычно называют синтаксическими закономерностями. таким образом, можно перефразировать определение грамматики, как конечного способа описания синтаксических закономерностей языка. Для практики интересны не просто грамматики, но грамматики, которые могут быть заданы в рамках единого подхода (формализма или парадигмы). Иначе говоря, на основе единого языка (метаязыка) описания грамматик всех формальных языков. Тогда можно придумать алгоритм для компьютера, который будет брать на вход описание грамматики, сделанное на этом метаязыке, и что-то делать с цепочками языка.

Такие парадигмы описания грамматик называют синтаксическими теориями. Формальная грамматика — это математическая модель грамматики, описанная в рамках какой-то синтаксической теории. Таких теорий придумано довольно много. Самый известный метаязык для задания грамматик — это, конечно, порождающие грамматики Хомского. С алгоритмической точки зрения грамматики можно подразделить по способу задания языка. Имеются три

основных таких способа (вида грамматик):

Распознающие грамматики. Такие грамматики представляют собой устройства (алгоритмы), которым на вход подается цепочка языка, а на выходе устройство печатает «Да», если цепочка принадлежит языку, и «Нет» — в противном случае.

Порождающие грамматики. Этот вид устройств используется для порождения цепочек языков по требованию. Образно говоря, при нажатии кнопки будет сгенерирована некоторая цепочка языка.

Перечисляющие грамматики. Такие грамматики печатают одну за другой все цепочки языка. Очевидно, что если язык состоит из бесконечного числа цепочек, то процесс перечисления никогда не остановится. Хотя, конечно его можно остановить принудительно в нужный момент времени, например, когда будет напечатана нужная цепочка.